Теория групп - один из важнейших разделов неколичественной математики.

В курсе средней школы подробно изучаются алгебраические уравнения с одним неизвестным первой степени (линейные) и второй степени (квадратные). Для решения таких уравнений существуют общие формулы, выражающие корни уравнения через коэффициенты с помощью арифметических операций и радикалов (корней различных степеней), то есть эти уравнения разрешимы в радикалах. Методы решения алгебраических уравнений первой и второй степени были известны еще математикам древнего мира. Методы решения уравнений третьей и четвертой степени были разработаны лишь в XVI веке, и оказалось, что алгебраические уравнения третьей и четвертой степени разрешимы в радикалах. В начале XVI века профессор математики Болонского университета Сципион дель Ферро (1465 - 1526 гг.) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида x³+px=q, где p и q положительны. Это решение профессор держал в строгом секрете, о нем знали только два его ученика, в том числе Фиоре. Утаивание научных открытий в то время имело особое значение для жизни и карьеры их авторов. В Италии широко практиковались математические поединки-диспуты: на многолюдных собраниях оба противника предлагали один другому задачи. Побеждал тот, кто решал большее число задач. Победитель прославлялся, награждался денежным призом и возможностью занять университетскую кафедру. В диспутах XVI века первое место занимала алгебра, названная “Великим искусством” в отличие от арифметики, которую называли “Малым искусством”. Диспуты проходили в городе Болонье. После смерти дель Ферро секретом решения кубического уравнения решил воспользоваться Фиоре. Он вызвал на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Николо Тарталья (1499 - 1557г. Настоящее имя - Фонтана, а Тарталья, “заика” - прозвище). Тарталья к моменту вызова занимал кафедру математики в Вероне. Он понял, что Фиоре знает формулу решения кубического уравнения. Тарталья писал: “Я приложил все свое рвение, усердие и умение, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благодаря благосклонной судьбе, мне удалось сделать это за восемь дней до срока”. Диспут состоялся 20 февраля 1535 г., и Тарталья победил, но формулу не открыл. Другой итальянский ученый Джероламо Кардано (1501 - 1576 гг.) обратился в 1539 году к Тарталье с просьбой рассказать ему эту формулу, он дал клятву, что будет держать ее в секрете. Тарталья, однако, лишь частично раскрыл свою тайну и сознательно маскировал полное решение кубического уравнения. В 1545 году вышла в свет книга Кардано “Великое искусство, или о правилах алгебры”, в которой была опубликована формула для нахождения корней кубического уравнения. Ученик Кардано Феррари решил уравнение четвертой степени. На протяжении почти трехсот лет предпринимались безуспешные попытки “решить в радикалах” общее уравнение пятой степени. Лишь в 1813 году А. Руффини (в первом приближении) и в 1827 году Н. Абель (независимо и совершенно строго) доказали теорему о том, что общее уравнение

xⁿ+ а₁x^n-1+ ... + а_n =0

при n>4 неразрешимо в радикалах. Фундаментальное открытие в этой области было сделано двадцатилетним Э. Галуа в 1831 году, когда он дал универсальный критерий для разрешимости любого уравнения степени n. При этом в основе своей теории Галуа использовал полученные им фундаментальные результаты в созданной им же теории групп. Итак, начиная с пятой степени, существуют уравнения любых степеней, неразрешимые в радикалах. Так, уравнение х⁵ - х - 1= 0 неразрешимо в радикалах, а уравнение

ах⁵+ вх⁴+ сх³=0, где а, в, с - вещественные числа, разрешимо в радикалах, так как разрешимо в радикалах квадратное уравнение

ах² + вх + с =0.

Чтобы дать понятие группы в его современной форме, математикам потребовалось сто лет. Двести лет назад знаменитый французский ученый Лагранж, изучая решение алгебраических уравнений в радикалах, фактически оперировал понятием группы. С понятием группы тесно связано широко распространенное в природе свойство симметрии. Симметричны не только снежинки, пчелиные соты, кристаллы поваренной соли и кварца. Элементарные частицы тоже подчиняются “закону симметрии” - зарядовому сопряжению, согласно которому каждой частице соответствует античастица. Проявлением симметрии окружающего нас мира является принцип относительности Галилея, законы сохранения энергии, количества движения, электрического заряда и другие. Изучение закономерностей симметрии, общих для самых разных ее проявлений, и привело к созданию специального математического аппарата, называемого теорией групп. С помощью теории групп удалось даже предсказать существование некоторых элементарных частиц. Понятие группы оказалось настолько плодотворным, что проникло почти во все разделы современной математики и стало играть важную роль в исследовании алгебраических уравнений, геометрических преобразований, в квантовой механике, кристаллографии, химии и других науках.