Различные способы задания прямой
Пусть - прямая в пространстве, точка - некоторая точка этой прямой. Любой ненулевой вектор , параллельный этой прямой, называется ее направляющимвектором .
Ясно, что прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, любые два из которых коллинеарны.
Тогда векторы и коллинеарны:
= , где (1)
Таким образом, чтобы задать прямую достаточно задать ее точку и направляющий вектор . = .
Формула(1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямой и значением параметра . Параметр является координатой точки в системе координат на прямой .
Возьмем какую-либо аффинную систему координат в пространстве, и пусть относительно ее точки и имеют координаты
, . Вектор разложим по векторам базиса : . Сравнивая одноименные координаты векторов в формуле (1), получим: |
,
, (2)
.
Обратно (2) (1). Таким образом , уравнения (2) определяют прямую в пространстве. Они называются параметрическимиуравнениямипрямой.
2. Если , то исключая из уравнений (2), получим (3).
Если одна из координат направляющего вектора прямой равна нулю, например, , то
(2)
d | В этом случае прямая параллельна плоскости ( в частности . Действительно, пусть , тогда Так как то . |
Если две координаты направляющего вектора прямой равны нулю, например, , то и
(2) ,
В этом случае прямая , в частности .
Уравнения (3), , называются каноническимиуравнениями прямой.
3. Прямая будет определена, если задать две её различные точки и . Вектор служит направляющим вектором этой прямой.
Уравнения прямой можно записать в виде (2) и (3):
,
и
, .
4. Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей и : . Пусть в аффинной системе координат плоскости и определяются уравнениями:
, (4)
(условие пересечения и )
Система уравнений (4) определяет прямую . Координаты точки являются решением системы уравнений (4).
Если - какое -либо решение системы (4) то эта система равносильна системе уравнений
Общее решение системы имеет вид:
, ,
Отсюда , , (5)
Уравнения (5) являются параметрическими уравнениями прямой . Направляющий вектор прямой имеет координаты:
(определенные с точностью до общего множителя ).
В прямоугольной системе координат ,где - векторы нормалей плоскостей и соответственно , ).
§14. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть имеем прямую d, заданную уравнениями
(1)
и плоскость П, заданную уравнением:
(2)
относительно аффинной системы координат . Будем искать общие точки прямой d и плоскости П. Для этого нужно решить систему уравнений (1) и (2). Заменяя х, у, z в уравнении (2) по формулам (1), получим:
(3)
Здесь возможны случаи:
1) (4) <=> система уравнений (1), (2) имеет единственное решение. Таким образом, условие (4) является необходимым и достаточным условием пересечения прямой d и плоскости П . В прямоугольной системе координатоно имеет простой геометрический смысл: скалярное произведение направляющего вектора прямой d и вектора нормали плоскости П отлично от нуля. Следовательно, векторы и не ортогональны.
В частности, прямая d перпендикулярна плоскости П тогда и только тогда, когдавекторы и коллинеарны, т.е. когда
2. , (5)
Следовательно, уравнение (3) не имеет решений, а, значит, и система (1),(2) не имеет решения. Таким образом, условия (5) являются необходимыми и достаточными условиями того, что (прямая и плоскость параллельны).
В прямоугольной системе координат они означают, что
где .
3) (6)
Уравнение (3) удовлетворяется любым значением t, а, значит, система (1), (2) имеет бесконечное множество решений. Следовательно, условия (6) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы прямая d принадлежала плоскости II.
В прямоугольной системе координат они означают, то что
Из соотношений (5), (6) заключаем, что
§15. Взаимное расположение двух прямых
в пространстве
Пусть имеем две прямые , каждая из которых задана точкой и направляющим вектором с координатами:
,
относительно аффинной системы координат .
Обозначим:
,
,
1) Векторы- некомпланарны <=> rangA=3, значит detA ¹0. Следовательно, прямые и скрещиваются.
2) Векторы - компланарны rangA=2, т.е. det À = 0. Следовательно, прямые и лежат в одной плоскости.
а) векторы - неколлинеарны rangB = 2. Тогда прямые и пересекаются.
б) векторы и - коллинеарны, и - неколлинеарны rangB = 1, rangC = 2. При этом прямые и параллельны.
3) Векторы коллинеарны rangB = 1, rangC =1 rangА = 1. Следовательно, прямые и совпадают.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 178;