Понятие числового ряда. Сумма ряда.
Пусть задана бесконечная последовательность чисел: .
Определение. Числовым рядом называется выражение: (1),
где - члены ряда, образующие известную числовую последовательность, - общий член ряда.
Пример.
1) ;
2) ;
3) .
Основное понятие, связанное с рядом чисел – сумма ряда. Было бы бессмысленно определять сумму ряда как сумму всех его членов (понятие суммы чисел в элементарной математике рассматривается только для конечного числа слагаемых). Определяя сумму ряда как сумму бесконечно большого числа слагаемых, необходимо использовать другой подход. Введём понятие так называемой частичной суммы ряда
Определение. n-ой частичной суммой ряда называется сумма конечного числа n первых членов ряда: .
Таким образом, можно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение. Суммой S ряда (1) называют предел последовательностей его частичных сумм при , т.е. .
Сумма существует не у каждого ряда, например, у ряда сумма не существует, т.к. .
Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм: .
Определение. Если последовательность частичных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Например: - ряд сходящийся , - ряд расходящийся.
Постановка двух основных задач теории рядов:
1) Исследовать ряд на сходимость;
2) Если ряд сходится – найти его сумму (точно и приблизительно).
Поэтому следующий вопрос посвящён исследованию рядов на сходимость – признакам сходимости.
Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 159;