Классификация электрических цепей

Электрический ток и напряжение, мощность и энергия и единицы их измерения

Электрическим токомназывают упорядоченное движение электрических зарядов под воздействием электрического поля. Мгновенным значением тока называют скорость изменения заряда q во времени:

,

где – электрический заряд, прошедший за время через поперечное сечение проводника. Заряд измеряется в кулонах , время – в секундах , электрический ток – в амперах .

Пусть имеется проводник (рис. а). Направление тока выбирается произвольно и указывается стрелкой. Как функция времени ток может принимать положительные и отрицательные значения. Если в результате расчёта тока, выполненного с учётом условно выбранного положительного направления, ток имеет знак плюс, то это означает, что его направление совпадает с выбранным положительным направлением. В противном случае, когда ток отрицателен, он направлен противоположно.

Электрическое напряжение между двумя точками a и b электрической цепи определяется количеством энергии W, затрачиваемой на перемещение единичного заряда из точки a в точку b (рис б).

. Единица измерения напряжения – вольт .

Положительное направление отсчета напряжения соответствует направлению перемещения положительно заряженных частиц от более высокого потенциала точки a к более низкому потенциалу точки b.

Электрическая энергия, затраченная на перемещение единичного заряда между двумя точками с напряжением к моменту времени определяется уравнением вида:

, поскольку , а .

Энергия, поступившая в цепь за промежуток времени от до , выражается интегралом:

. Единица измерения энергии – джоуль (Дж).

Мгновенная мощность определяется производной энергии по времени:

, откуда .

Мощность измеряется в ваттах – . Если , то обусловлен процесс поглощения энергии, если – процесс отдачи.

Электрическая цепь, ее элементы и модели. Пассивные элементы

Электрической цепью называют совокупность устройств, предназначенных для прохождения тока и описываемых с помощью понятий электрического тока и электрического напряжения. Существует и другое определение электрической цепи – электромагнитная система, описание которой возможно и целесообразно с помощью понятий электрический ток и напряжение. Электрическая цепь содержит в себе как источники, так и приемники. Источниками электрической цепи являются устройства, которые создают (генерируют) токи и напряжения. Приёмниками электрической цепи называют устройства, потребляющие или преобразующие электрическую энергию в другие виды энергии.

В основе анализа электрических цепей лежит принцип моделирования: при анализе электрической цепи создаётся физическая модель, содержащая некоторую основную информацию об этой цепи. Далее формируется математическая модель – система уравнений, с помощью которых описывается физическая модель.

К пассивным элементам относятся: резистивное сопротивление, индуктивность и емкость.

Резистивным сопротивлением называют идеализированный элемент цепи, обладающий свойством необратимого рассеивания энергии.

Условное обозначение:

Математическая модель определяется законом Ома: , где .

где R – сопротивление [Ом], G – проводимость, сименс [См].

Закон Ома определяет вольтамперную характеристику (ВАХ) резистивного элемента.

Если резистивное сопротивление не зависит от величины и направления тока, то имеет место прямая пропорциональность между напряжением и током. В этом случае резистивное сопротивление называется линейным. В противном случае резистивное сопротивление называется нелинейным и условно обозначается в виде:

Мгновенная мощность, поступающая в резистивное сопротивление, определяется соотношением вида: .

Электрическая энергия, поступившая в резистивное сопротивление и превращенная в тепло, начиная с некоторого момента времени, например , до рассматриваемого момента , равна:

.

В случае постоянного тока ( ) или напряжения ( ) имеем:

– закон Джоуля-Ленца.

Индуктивным элементом называют идеализированный элемент электрической цепи, приближающийся по свойствам к индуктивной катушке, в которой накапливается энергия магнитного поля. При этом термин «индуктивность» и соответствующее ему условное обозначение применяются для обозначения, как самого элемента цепи, так и для количественной оценки. Единица измерения – генри (Гн).

Условное обозначение:

Математическая модель определяется соотношением вида: , ,

где – потокосцепление, Ф – магнитный поток единицы их измерения вебер [Вб], w – число витков в катушке. Последнее уравнение определяет вебер-амперную характеристику. Связь между током и напряжением на индуктивном элементе определяется выражениями:

, откуда .

Видно, что если через индуктивный элемент протекает постоянный ток, то напряжение будет равно нулю, а это возможно в случае, когда сопротивление на индуктивном элементе равно нулю. Поэтому индуктивность эквивалентна коротко замкнутому (КЗ) участку.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивный элемент, определяется как:

.

Это уравнение показывает, что мощность связана с процессом нарастания или убывания энергии магнитного поля. Энергия магнитного поля, запасенная в индуктивном элементе к моменту t, определяется в виде:

.

Если часть магнитного потока, связанного с индуктивным элементом, связана одновременно и с другим индуктивным элементом, то эти два элемента, кроме и , обладают параметром , называемым взаимной индуктивностью, измеряемым так же как индуктивность.

Емкостным элементом называют идеализированный элемент электрической цепи, приближённо заменяющий конденсатор, в котором накапливается энергия электрического поля. При этом термин «ёмкость» и соответствующее ему буквенное обозначение применяются для обозначения, как самого элемента цепи, так и для количественной оценки.

Единица измерения – фарад [Ф].

Условное обозначение:

Математическая модель определяется выражением вида: .

Это уравнение определяет вольткулонную характеристику. Связь между током и напряжением на емкостном элементе определяется как:

, откуда .

Видно, что при постоянном напряжении ток равен нулю, т.е. емкостной элемент эквивалентен разрыву цепи или холостому ходу (ХХ).

Мощность, поступающая в емкостной элемент, определяется как: .

Это уравнение показывает, что мощность связана с процессом накопления или убыли энергии электрического поля. Энергия, запасенная в емкостном элементе к моменту t:

.

Замещение физических устройств идеализированными элементами электрической цепи

Рассмотренные идеализированные резистивный, индуктивный и емкостной элементы могут служить простейшими моделями реальных физических устройств. К реальным физическим устройствам можно отнести: резистор, катушку индуктивности, конденсатор.

При постоянном и переменном токе в области нижних частот резистор можно рассматривать как идеализированный резистивный элемент, т.е.

Рассмотрим, как можно представить конденсатор, состоящий из двух параллельных пластин, разделенных диэлектриком. При постоянном напряжении и идеальном диэлектрике конденсатор пропускать ток не будет (разрыв в цепи). При переменном напряжении в области нижних частот модель конденсатора, кроме емкостного элемента, может содержать параллельную проводимость , учитывающую потери энергии в диэлектрике.

Теперь представим себе простейшую катушку индуктивности в виде нескольких круговых витков проводника, по которому проходит ток. При постоянном токе катушка индуктивности может быть представлена как сопротивление , которое учитывает сопротивление витков проводника. При переменном токе в области нижних частот катушка индуктивности может быть представлена как индуктивность с последовательно включенным сопротивлением .

В области более высоких частот модели резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов становятся более сложными. Например, на сверхвысоких частотах (СВЧ) в резисторе начинает проявляться поверхностный эффект, выражающийся в неравномерном распределении тока по сечению проводника (скин-эффект). В результате этого сопротивление проводника начинает расти с увеличением частоты.

Контрольные вопросы

1. Какие задачи ставит перед собой дисциплина ОТЦ?

2. Как классифицируются электрические цепи?

3. Какие режимы работы электрических цепей Вы знаете?

4. Что называется электрическим током, напряжением, энергией и мощностью?

5. Что называется электрической цепью?

6. Что собой представляют источники и приёмники электрической энергии?

7. В чём состоит принцип моделирования электрических цепей?

8. Какие элементы электрической цепи являются пассивными?

9. Что называется резистивным сопротивлением и проводимостью?

10. Что является математической моделью резистивного элемента?

11. В чём отличие линейного резистивного сопротивления от нелинейного?

12. Как определяется электрическая энергия, поступившая в резистивное сопротивление и превращенная в тепло?

13. Что называется индуктивным элементом?

14. Что является математической моделью индуктивного элемента?

15. Какова связь между напряжением и током, протекающим через индуктивный элемент?

16. Чем мы должны заменить индуктивность, если через неё протекает постоянный ток?

17. Как определяется энергия магнитного поля, запасенная в индуктивном элементе?

18. Что называется емкостным элементом?

19. Что является математической моделью емкостного элемента?

20. Какова связь между напряжением и током, протекающим через емкостной элемент?

21. Чем мы должны заменить ёмкость, если к ней приложено постоянное напряжение?

22. Как определяется энергия электрического поля, запасённая в емкостном элементе?

23. В чём отличие понятий резистивного сопротивления и резистора?

24. В чём отличие понятий индуктивности и катушки индуктивности?

25. Приведите схему замещения катушки индуктивности.

26. В чём отличие понятий ёмкости и конденсатора?

27. Приведите схему замещения конденсатора.

28. Что собой представляет явление скин-эффект?

Лекция № 2

Активные элементы. Независимые и зависимые источники

Активными элементами являются зависимые и независимые источники энергии. К зависимым источникам относят: электронные лампы, транзисторы, операционные усилители. К независимым источникам относят: аккумуляторы, электрогенераторы, термоэлементы. Независимые источники подразделяются на источники напряжения и источники тока.

Независимым источником напряжения (ЭДС) называют идеализированный двухполюсник, напряжение, на зажимах которого не зависит от протекающего через него тока.

Условное обозначение:

Внутреннее сопротивление идеального независимого источника напряжения (ЭДС) равно нулю. ВАХ такого источника представляется в виде (сплошная линия):

Реальный независимый источник напряжения (ЭДС)

обладает внутренним сопротивлением:

Условное обозначение:

ВАХ реального независимого источника напряжения представлена пунктирной линией.

Независимым источником тока называют идеализированный двухполюсный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах.

Условное обозначение: – напряжение на источнике тока

ВАХ такого источника в виде сплошной линии. Внутреннее сопротивление равно бесконечности.

Реальный независимый источник тока

обладает внутренней проводимостью

Условное обозначение:

Возможен переход от схемы независимого источника напряжения (ЭДС) к эквивалентной схеме независимого источника тока по формулам:

, , .

Зависимый источник представляет собой четырехполюсник с двумя парами зажимов:

входных (1, 1’) и выходных (2, 2’). Различают четыре типа зависимых источников:

1. Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН)

2. Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ)

3. Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН)

4. Источник тока, управляемый током (ИТУТ)

Покажем условные обозначения зависимых источников различного типа.

В ИНУН (рис. а) входное сопротивление равно бесконечности, входной ток равен нулю, а выходное напряжение связано с входным равенством вида: .

Коэффициент H_U характеризует усиление по напряжению.

В ИНУТ (рис. б) входным током i₁ управляется выходное напряжение u₂. Входная проводимость равна бесконечности, входное напряжение равно нулю.

Коэффициент H_R имеет размерность сопротивления.

В ИТУН (рис. в) выходной ток i₂ управляется входным напряжением u₁. Входной ток равен нулю, входное сопротивление равно бесконечности.

Коэффициент H_G имеет размерность проводимости.

В ИТУТ (рис. г) управляющим током является входной ток i₁. Входная проводимость равна бесконечности.

Коэффициент H_I характеризует усиление по току.

Примером зависимого источника является операционный усилитель (ОУ). Операционный усилитель имеет два входа: 1 – неинвертирующий и 2 – инвертирующий. Идеальный ОУ представляет собой ИНУН с бесконечно большим коэффициентом усиления H_U, с бесконечно большим входным сопротивлением и выходной проводимостью.

Электрическая схема. Топология электрической цепи

Электрической схемой называют графическое изображение электрической цепи. Микросхемой (интегральной схемой) называют интегральную электрическую цепь, содержащую сотни и тысячи простейших активных и пассивных элементов.

Для анализа электрических цепей в последнее время применяют топологические методы, заключающиеся в представлении электрической цепи в виде графа. Граф – геометрическая система линий (ветвей), соединяющих заданные точки (узлы). Граф, у которого ветви ориентированы по направлению токов ветвей, является направленным (ориентированным). Пусть дана электрическая схема в виде:

Для этой цепи ориентированный граф будет выглядеть следующим образом:

Основные понятия и определения в топологии цепей:

1. Узел – место соединения зажимов трех и более элементов.

2. Ветвь – часть цепи, включаемой между двумя узлами, через которые она обменивается энергией с остальной цепью. Ветви, присоединённые к одной паре узлов, образуют параллельное соединение.

3. Путь – последовательно соединенные ветви цепи.

4. Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. В зависимости от числа контуров в схеме, различают одноконтурные и многоконтурные схемы. В ряде случаев удобно заменить многоконтурную схему одноконтурной, что упрощает расчёты.

Например. Проведём топологический анализ следующей схемы:

Законы Ома и Кирхгофа

Закон Ома (частный случай II закона Кирхгофа) применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи. При написании закона Ома следует выбрать произвольно положительное направление тока.

Закон Ома для ветви, содержащей источники ЭДС и резисторы:

,

В общем случае: . Для замкнутого контура: .

Определение I закон Кирхгофа: алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю. При этом знаки токов берутся с учётом выбранных направлений токов: всем токам, направленным от узла, условно приписывается знак «плюс», и соответственно всем токам, направленным к узлу условно приписывается знак «минус».

– математическая запись I закона Кирхгофа.

Пример

Определение II закона Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений на нем.

– математическая запись II закона Кирхгофа.

Направление обхода контура выбирают произвольно. В левой части уравнения ЭДС, направления которых совпадают с направлением контура принимаются положительными. При записи правой части равенства со знаком «+» берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода контура.

Пример

Принцип эквивалентности. Преобразование электрических схем

Принцип эквивалентности: напряжения и токи в ветвях схемы, не затронутых преобразованием, остаются неизменными.

Последовательное соединение элементов:

1. Последовательное соединение резистивных элементов: .

2. Последовательное соединение индуктивных элементов: .

3. Последовательное соединение емкостных элементов: .

Параллельное соединение элементов:

1. Параллельное соединение резистивных элементов: .

2. Параллельное соединение индуктивных элементов: .

3. Параллельное соединение емкостных элементов:

4. Смешанное соединение резистивных элементов:

Формулы преобразования соединения «треугольника» в «звезду»

Уравнения (1) и (2) подставляем в (3), получаем:

, поскольку , то

, ,

, , откуда

.

С другой стороны напряжение можно определить по контуру II (рис. a).

, откуда .

Таким образом, получим:

, отсюда видно, что

, , по аналогии можно найти .

Данные формулы преобразования будут весьма полезны при определении эквивалентного сопротивления линейной электрической цепи, содержащей соединение типа «треугольник».

Пример. Определим эквивалентное сопротивление линейной следующей электрической цепи:

Проводим эквивалентное преобразование из «треугольника» в «звезду»:

По формулам преобразования получаем:

, , .

Из последней схемы видно, что сопротивления и , как и сопротивления и соединены последовательно. В свою очередь, ветви с сопротивлениями , и , соединены параллельно. Следовательно, эквивалентное сопротивление всей цепи определяется в следующем виде:

.

Контрольные вопросы

1. Какие элементы электрической цепи являются активными?

2. Что называется независимым источником напряжения?

3. В чем отличие идеального источника напряжения от реального?

4. Изобразите ВАХ идеального источника напряжения.

5. Что называется независимым источником тока?

6. В чем отличие идеального источника тока от реального?

7. Изобразите ВАХ идеального источника тока.

8. Что такое зависимые источники? Приведите примеры.

9. Что такое операционный усилитель? Его свойства?

10. Что называется электрической схемой?

11. В чём заключается топологический метод анализа электрических цепей?

12. Какие Вы знаете основные понятия и определения в топологии цепей?

13. Запишите в общем виде Закон Ома для ветви, содержащей источники ЭДС и резисторы.

14. Сформулируйте I и II законы Кирхгофа.

15. В чём состоит принцип эквивалентности и преобразования схем?

16. Запишите формулы преобразования при последовательном соединении резистивных, индуктивных и емкостных элементов.

17. Запишите формулы преобразования при параллельном соединении резистивных, индуктивных и емкостных элементов.

18. Запишите формулы преобразования соединения «треугольника» в «звезду».

Лекция № 3

Принцип наложения. Теорема замещения. Теорема взаимности

Если рассматривать напряжения и токи источников как задающие воздействия, а напряжения и токи в отдельных ветвях цепи как реакцию (отклик) цепи на эти воздействия, то принцип наложения можно сформулировать следующим образом: реакция линейной электрической цепи (ЛЭЦ) на сумму воздействий равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности.

Принцип наложения можно использовать для нахождения реакции в линейной цепи, находящейся как под воздействием нескольких источников, так и при сложном произвольном воздействии одного источника.

Пример № 1. Пусть в ЛЭЦ действует несколько источников. Для нахождения тока или напряжения в какой-либо ветви осуществим поочерёдное воздействие каждым источником и найдём соответствующие частные реакции и на эти воздействия. Тогда результирующая реакция в соответствии с принципом наложения определяется как:

, , где – общее число источников.

Пример № 2. Пусть в ЛЭЦ приложено напряжение сложной формы. Раскладываем это сложное воздействие на сумму простых воздействий. Определяем реакцию цепи на каждое простое воздействие с последующим наложением полученных результатов.

Для нелинейных цепей принцип наложения неприменим – и это обстоятельство часто служит критерием оценки линейности или нелинейности электрической цепи. Для оценки линейности электрической цепи подадим на её вход воздействие в виде напряжения или тока (см. рис.) и будем наблюдать реакцию на выходе цепи.

Теорема замещения: любую ветвь ЛЭЦ с напряжением u и током i можно заменить источником напряжения с и источником тока с .

Теорема взаимности: если источник напряжения, включенный в некоторую ветвь ЛЭЦ, составленной из пассивных двухполюсников, вызывает в другой ветви этой цепи некоторый ток, то тот же источник напряжения, будучи перенесен в эту вторую ветвь, вызовет в первой ветви прежний ток.

Теорема об активном двухполюснике. Теорема Тевенина и Нортона

Теорема об активном двухполюснике используется в случае, когда надо найти реакцию цепи (ток или напряжение) в одной ветви. При этом остальную часть цепи, к которой подключена данная ветвь, удобно рассматривать в виде двухполюсника.

Активный двухполюсник – содержит источники электрической энергии, которые не компенсируются взаимно внутри двухполюсника, в противном случае двухполюсник пассивный.

Различают две модификации теоремы об активном двухполюснике:

Теорема об эквивалентом источнике напряжения (Теорема Тевенина): ток в любой ветви ЛЭЦ не измениться, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентном источником напряжения (ЭДС) с напряжением (ЭДС), равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и внутренним сопротивлением источника, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви.

Теорема об эквивалентом источнике тока (Теорема Нортона): ток в любой ветви ЛЭЦ не измениться, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентном источником тока с током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви.

Связь между эквивалентным источником напряжения и тока выражается соотношениями:

, , .

Принцип дуальности. Теорема Телледжена. Баланс мощности

Принцип дуальности: если для данной электрической цепи справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи.

Основные дуальные понятия и соотношения
Исходные понятия	Дуальные понятия
Напряжение	Ток
Сопротивление	Проводимость
Индуктивность	Ёмкость
I закон Кирхгофа	II закон Кирхгофа
Теорема об эквивалентном источнике напряжения	Теорема об эквивалентном источнике тока
Последовательное соединение	Параллельное соединение

Использование принципа дуальности в ряде случаев позволяет существенно упростить расчёт. Так, если найдены уравнения для одной цепи, то, используя дуальные соотношения можно сразу записать законы изменения дуальных величин в дуальной цепи.

Теорема Телледжена: сумма произведений напряжений и токов всех ветвей цепи, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равно нулю.

.

Баланс мощности: для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей , развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей , расходуемой в приемниках энергии.

, или – уравнение баланса мощности.

Например. Составить уравнение баланса мощности для резистивной электрической цепи.

, где

– напряжение на источнике тока

Следует обратить внимание на расстановку знаков при составлении уравнения баланса мощности. Направление действия ЭДС совпадает с заранее выбранном направлении тока ветви , поэтому первое слагаемое в левой части уравнения записывается со знаком «плюс». Направление напряжения на источнике тока выбрано противоположно направлению тока источника тока, поэтому второе слагаемое также записывается со знаком «плюс». При записи правой части уравнения баланса мощности все слагаемые берутся со знаком «плюс».

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте принцип наложения.

2. В каких случаях используется принцип наложения?

3. Для каких электрических цепей не выполняется принцип наложения?

4. Как оценить линейность электрической цепи с помощью принципа наложения?

5. Сформулируйте теорему замещения.

6. Сформулируйте теорему взаимности.

7. В каком случае при анализе цепи используется теорема об активном двухполюснике?

8. Какой двухполюсник называется активным?

9. Сформулируйте теорему об эквивалентном источнике напряжения (Тевенина).

10. Сформулируйте теорему об эквивалентном источнике тока (Нортона).

11. Сформулируйте принцип дуальности.

12. Перечислите основные дуальные понятия.

13. Как