Обратимые линейные операторы

Определение 9.12. Линейныйоператор j называется обратимым, если существуетлинейныйоператорψтакойчто выполняетсяравенство j×ψ = ψ×j= e, где e – тождественный оператор.

Теорема 9.10. Если линейныйоператорj обратим,тооператорψопределяется единственным образом и называетсяобратнымдляоператора j.

В этом случае оператор, обратный для оператораj, обозначается j^–1.

Теорема 9.11. Линейный операторj обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица M(j), при этом M(j^–1) = (M(j))^–1.

Из этой теоремы следует, что ранг обратимого линейного оператора равенразмерностипространства, а дефект равен нулю.

Пример 9.41)Определить, обратим ли линейныйоператор j, если j(x) = (2х₁ – х₂, –4х₁ + 2х₂).

Решение. Составим матрицу этого линейного оператора: M(j) = . Так как = 0 то матрица M(j) необратима, а значит, необратим и линейныйоператорj.

2)Найтилинейныйоператор,обратныйоператору j, еслиj(x) = (2х₁ + х₂, 3х₁ + 2х₂).

Решение. Матрица этого линейногооператора, равная M(j) = , обратима, так как |M(j)| ≠ 0. (M(j))^–1 = , поэтому
j^–1= (2х₁ – х₂, –3х₁ + 2х₂).

9.7. Собственныевекторы линейного оператора

Ввекторном пространстве V над произвольным полем P задан линейныйоператорj.

Определение 9.13. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора j с собственным значениемλ, если j(х) = λx.

Говорят, что вектор x принадлежитсобственному значениюλ.

При этомλ называется не только собственным значениемвектора x, но и собственным значением линейного оператора j.

Пример 9.5. 1)Любой ненулевой вектор является собственным вектором оператора гомотетии.

2)Рассмотрим оператор дифференцированиявпространстведифференцируемыхфункций. Вектор f = е^3х является собственным вектором этого оператора с собственным значением 3, так как f ' = 3е^3х = 3f.

3) Для линейного оператора, заданного матрицей M(j) = собственнымявляется вектор c = (1, 2, 0), так как j(с) = 2с. Проверим это:

[j(с)] = M(j)[c] = = = 2 = 2[с].