Базис конечномерного векторного пространства

V – конечномерное векторное пространство над полем P, S – система векторов (конечная или бесконечная).

Определение 8.10. Базисом системы S называется ее подсистема S´ такая, что

• подсистема S´ линейно независима;

• любой вектор системы S линейно выражается через векторы системы S´.

Как и для арифметических n-мерных векторных пространств верна следующая теорема:

Теорема 8.5. Любые два базиса одной и той же системы векторов состоят из одинакового количества векторов.

Теорема 8.6. В конечномерном векторном пространстве любая система, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, имеет базис.

Определение 8.11.Базисом конечномерного векторного пространства V называется система векторов этого пространства, такая что

• эта система линейно независима;

• каждый вектор из V линейно выражается через векторы базиса.

Теорема 8.7. В n-мерном векторном пространстве есть базис. При этом базисы – это в точности все системы, состоящие из n линейно независимых векторов, то есть

- базис – это система, состоящая n из линейно независимых векторов, и

- любая система, состоящая из n линейно независимых векторов, является базисом.

Определение 8.12.Размерностью пространства называется количество векторов в любом его базисе.

Пример 8.5. Приведем примеры базисов конечномерных векторных пространств.

1) Пространство V = Rⁿ. Система единичных векторов e₁, e₂, …, e_n образует базис этого пространства, что следует из свойств этой системы векторов. Размерность Rⁿ равна n.

2) Пространство V = R³. Система векторов e₁, e₂, e₃ – базис R³. Любой другой базис этого пространства состоит из трех линейно независимых векторов, это, например, векторы а₁, а₂, а₃ : а₁ = (2, 3, –1), а₂ = (0, 4, 7), а₃ = (0, 0, –4). Эти векторы образуют лестничную систему, поэтому они линейно независимы. Размерность R³ равна 3.

3) Пространство V = R^2´2. В качестве базиса этого пространства можно выбрать векторы Е₁ = , Е₂ = , Е₃ = , Е₄ = . Можно показать, что они линейно независимы. Как выражаются элементы пространства через векторы базиса, видно из следующего примера: если вектор A = , то А = 2Е₁ + (–4)Е₂ + 3Е₃ + 5Е₄ . Размерность R^2´2 равна 4.

4) Пространство V = R[x]_(£3). Векторы f₁ = 1, f₂ = x, f₃ = x², f₄ = x³ образуют базис пространства R[x]_(£3). Линейная независимость этих векторов легко доказывается, произвольный вектор f = a + bx + cx² + d x³ выражается через векторы следующим способом f = a×f₁ + b×f₂ + c×f₃ + d×f₄. Размерность этого пространства равна 4.

5) Пространство направленных отрезков. На плоскости базис состоит из любых двух неколлинеарных векторов, в пространстве – из любых трех некомпланарных векторов.