Свойства линейной зависимости системы векторов
1) Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
2) Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.
Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.
3) Если к линейно независимой системе векторов а1, а2, …, аm добавить вектор b и при этом система векторов а1, а2, …, аm, b станет линейно зависимой, то вектор b линейно выражается через остальные.
Определение7.12. Система векторов а1, а2, …, аm называется ступенчатой (или лестничной), если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчатой, т. е.
а1 = (а11, а12, …, а1r, …, а1n), а11 ≠ 0;
а2 = (0, а22, …, а2r, …, а2n), а22 ≠ 0;
……………………………………
аm = (0, 0, …, аrr, …, аrn), аrr ≠ 0.
4) Ступенчатая система векторов линейно независима.
Пример 7.3.Выяснить является ли система векторов а1 = (2, 2, 7, –1), а2 = (3, –1, 2, 4), а3 = (1, 1, 3, 1) линейно зависимой.
Решение. По определениям 7.10 и 7.11 составим линейную комбинацию данных векторов k1×а1 + k2×а2 + k3×а3 = 0; подставим вместо векторов их координаты:
k1×(2, 2, 7, –1) + k2×(3, –1, 2, 4) + k3×(1, 1, 3, 1) = (0, 0, 0, 0).
Данное векторное равенство (согласно определению 7.2 о равенстве векторов) запишем для каждой координаты, и получим систему:
Решим систему методом Гаусса.
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Þ
Следовательно, данная система векторов линейно независима.
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 133;