Операции над множествами и их свойства

Определим операции над множествами, с помощью которых можно получать из любых имеющихся множеств новые множества.

Объединение (или сумма).

Определение 1.9.Объединением множеств А и В называется множество A È B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

То есть, по определению 1.9, A È B = {х | х Î А или х Î В}.

Все операции над множествами можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера – Венна. Объединение множеств А и В заштриховано и изображено на рис. 1.2.

Заметим, что в объединение двух множеств A и B могут входить элементы из A, не принадлежащие множеству B, элементы из B, не принадлежащие множеству A, и элементы, принадлежащие множествам A и B одновременно. Следовательно, (" A, B) A Í A È B и B Í A È B.

Пересечение (или произведение).

Определение 1.10. Пересечением множеств А и В называется множество A Ç B, которое состоит из тех и только тех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А и множеству B.

Таким образом, по определению 1. 10, A Ç B = {х | х Î А и х Î В}. Пересечение множеств А и В заштриховано и изображено на рис. 1.3.

Замечание 1.4.Если A Ç B ¹ Æ, то говорят, что множества A и B пересекаются. Если A Ç B = Æ, то в этом случае множества A и B называются непересекающимися.

Из определения пересечения следует, что (" A, B) А Ç В Í А и А Ç В Í В.

Разность.

Определение 1.11.Разностью множеств А и В называется множество А \ В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и одновременно не принадлежат множеству В.

Таким образом, по определению 1.11, А \ В = {x | x Î А и х Ï В}. Разность множеств А и В заштриховано и изображено на рис. 1.4.

Замечание 1.5.Если B Í A, то в этом случае разность А \ В называют дополнением B до A.

Определим частные случаи разности.

Определение 1.12.Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество A D B (или А Å В), состоящее из элементов объединения этих множеств, но не входящих в пересечение этих множеств (рис. 1.5).

Таким образом, по определению, A D B = (A È B) \ (A Ç B) = = (A \ B) È (B \ A) = {x | (x Î А и х Ï В) или (x Î B и х Ï A)}.

Определение 1.13. Дополнением множества А (до универсального множества U) называется множество (или A¢) равное разности U \ А.

Дополнение множества А до универсального множества U заштриховано и изображено на рис. 1.6.

Таким образом, по определению, = U \ А = {x | x Î U и х Ï А} или = {x | х Ï А}.

Пример 1.5. Пусть A = {m, n, p, k, l}, B = {p, r, s, n}. Найти: A È B, A Ç B, A \ B, B \ A, A D B.

Решение.

A È B = {m, n, p, k, l, r, s}; A Ç B = {p, n}; A \ B = {m, k, l}; B \ A = {r, s};

A D B = { m, k, l, r, s}.

Пример 1.6. Пусть A = {х | х Î R, –4 £ х < 1}, B = {х | х Î R, 0 £ х £ 4}. Найти: A È B, A Ç B, A \ B, B \ A, A D B, , .

Решение.

A È B = {х | х Î R, –4 £ х £ 4};

A Ç B = {х | х Î R, 0 £ х < 1};

A \ B = {х | х Î R, –4 £ х < 0};

B \ A = {х | х Î R, 1 £ х £ 4};

A D B = {х | х Î R, –4 £ х < 0, 1 £ х £ 4};

= {х | х Î R, х < –4, х ³ 1};

= {х | х Î R, х < 0, х > 4}.