Признак сходимости Коши
Теорема (радикальный признак сходимости Коши).Пусть задан ряд с неотрицательными членами и при всех , где . Тогда ряд сходится. Если же при всех , то ряд расходится.
Доказательство. Неравенство равносильно неравенству . Так как и ряд сходится, то по первому признаку сходимости ряд также сходится.
Если же , то и равенство невозможно. Т.е. необходимое условие сходимости не выполняется – ряд расходится.
В предельной форме эта теорема выглядит так:
Теорема. Пусть задан ряд с неотрицательными членами и существует . Тогда если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. При признак неприменим.
Доказательство. Пусть . Выбираем так, чтобы и . Согласно определению предела последовательности найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство , т.е. . Применяя предыдущую теорему, получаем, что ряд сходится.
Если же , то выберем так, чтобы . Тогда снова найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство и вновь по предыдущей теореме ряд расходится.
Пример.Исследовать сходимость ряда .
Решение. Применим признак Коши в предельной форме. Здесь
.
Значит, в силу признака Коши в предельной форме данный ряд сходится.
Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда .
Теорема (интегральный признак сходимости.) Пусть – непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и несобственный интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Доказательство. Ввиду монотонности функции выполняются неравенства для промежутка . Интегрируя по на этом промежутке, получаем . Придавая значения и складывая полученные неравенства, получаем или . Функция также является монотонной, поэтому если несобственный интеграл сходится, то выполняется неравенство . Но тогда для : , т.е. . А ограниченность последовательности частичных сумм для ряда с неотрицательными членами – это достаточное условие сходимости такого ряда.
Пусть теперь сходится ряд . Тогда . Взяв произвольное , выберем так, чтобы . Но тогда: . Значит, несобственный интеграл сходится.
Пример. Для примера рассмотрим обобщенный гармонический ряд . Докажем, что ряд сходится при и расходится при .
Применим интегральный признак сходимости. Общему члену ряда соответствует функция (непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая). Вычислим несобственный интеграл
.
Интеграл сходится при , следовательно, сходится и ряд .
Интеграл расходится при , соответственно, расходится и ряд.
Расходимость ряда при можно установить и с помощью теоремы сравнения. Для справедливо неравенство , а гармонический ряд расходится. Значит, в силу теоремы сравнения при ряд расходится.
Пример.Исследовать сходимость ряда .
Решение. Применим интегральный признак Коши. Здесь общий член ряда имеет вид . Ему соответствует функция непрерывного аргумента и исследуем на сходимость несобственный интеграл .
, так как при , Значит, этот интеграл сходится, а с ним сходится и данный ряд.
Доказанная теорема позволяет сформулировать еще один признак.
Теорема (специальный признак сравнения).Пусть для всех и пусть при некотором существует предел: . Это значит, что при , здесь – порядок убывания . Другими словами, общий член ряда при ведет себя как . Тогда ряд сходится при и расходится при .
Доказательство непосредственно вытекает из предыдущей теоремы и второго следствия признака сравнения.
Пример.Исследовать сходимость ряда .
Решение. Общий член ряда при достаточно больших ведет себя как . Так как порядок убывания общего члена ряда ,то данный ряд сходится.
Дата добавления: 2020-05-20; просмотров: 261;