Ряды с неотрицательными членами.

Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с простым критерием сходимости для таких рядов. Для простоты предположим, что все .

Отсюда вытекают три простых свойства рядов с неотрицательными членами.

· Последовательность частичных сумм неотрицательна, т.е. .

· Последовательность частичных сумм монотонна, т.е. .

· Для того чтобы последовательность частичных сумм сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена:

сходится .

Используя последний факт, легко доказать следующие признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.

Признаки сравнения

Теорема (первый признак сравнения). Пусть для всех . 1. Если ряд сходится, то сходится и ряд .

2. Если ряд расходится, то расходится и ряд .

Доказательство. Если для всех , то очевидны неравенства .

1. По условию, ряд сходится. Значит, по приведенному выше критерию . Но тогда и , значит, ряд тоже сходится.

2. Пусть ряд расходится. Тогда если бы ряд сходился, то из уже доказанного утверждения должен был бы сходиться и ряд , что противоречит условию. Следовательно, расходится и ряд .

Пример.Исследовать сходимость рядов

1) ; 1а) ; 2) ; 2а) .

Решение. 1) Для сравнения выберем ряд , сходимость которого доказана. Так как имеет место очевидное неравенство , то данный ряд сходится.

1а) Выберем для сравнения тот же сходящийся ряд . Но неравенство не позволяет сделать вывод о сходимости данного ряда – первая теорема сравнения не сработала.

2) Для сравнения выберем гармонический ряд , расходимость которого установлена. В силу неравенства данный ряд расходится.

2а) Выберем для сравнения тот же расходящийся ряд . Неравенство не позволяет сделать вывод о расходимости данного ряда – опять первая теорема сравнения не сработала.

Примечание. Из утверждения 1 следует, что теорема справедлива и в случае, когда неравенство выполняется, начиная с некоторого номера .

Следствие 1. Пусть для всех и пусть ряд сходится. Тогда сходится и ряд .

Если же для всех и ряд расходится, то расходится и ряд .

Следствие 2. Пусть для всех и пусть существует конечный предел , тогда ряды и ведут себя одинаково – сходятся или расходятся одновременно (т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится).

Доказательство. . Выберем . Тогда (т.к. ) при .

Если ряд сходится, то сходится и ряд (по теореме). Но из следствия 1 получим, что и ряд сходится.

Если ряд сходится, то сходится и ряд , следовательно, сходится ряд

Теорема (второй признак сравнения). Пусть и для всех .

1. Если ряд сходится, то сходится и ряд .

2. Если ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример. Исследовать сходимость рядов

1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) Для сравнения выберем сходящийся ряд . Так как (первый замечательный предел) , то оба ряда ведут себя одинаково – данный ряд сходится.

2) Опять для сравнения выберем сходящийся ряд . Так как , то оба ряда ведут себя одинаково – данный ряд сходится.

3) Для сравнения выберем расходящийся гармонический ряд . Так как , то оба ряда ведут себя одинаково – данный ряд расходится.

Признак Даламбера

Теорема (признак сходимости Даламбера). Пусть задан ряд с положительными членами и при всех n: , где . Тогда ряд сходится. Если же при всех n для этого ряда , то ряд расходится.

Доказательство. Пусть выполнено условие , . Рассмотрим вспомогательный ряд , сходящийся при . Тогда по второй теореме сравнения ряд сходится, т.к. . Если же выполнено условие , то, взяв вспомогательный расходящийся ряд , по второй теореме сравнения получаем , значит, ряд расходится.

В предельной форме этот признак выглядит так:

Теорема. Если существует , то при ряд сходится, а при расходится. При признак неприменим.

Доказательство. Пусть . Выбираем так, чтобы и . Согласно определению предела последовательности найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство . По предыдущей теореме ряд сходится.

Если же , то выберем так, чтобы . Тогда снова найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство и ряд расходится.

Пример.Исследовать сходимость рядов

1) ; 2) 3) 4) .

Решение. 1) Воспользуемся признаком Даламбера в предельной форме. Выпишем -ый и –й члены ряда и составим отношение

.

Переходя к пределу при , получаем

.

В силу признака Даламбера ряд сходится.

2) Здесь .

Перейдем к пределу при . Вспоминая, что (второй замечательный предел), получаем – данный ряд сходится.

3) Здесь – данный ряд расходится.

4) Здесь , т.е. признак Даламбера в предельной форме не решает вопроса о поведении ряда. Более точная форма признака Даламбера (без перехода к пределу) позволяет установить расходимость данного ряда. Действительно, в отношении знаменатель с ростом монотонно возрастает, оставаясь меньше числа . Значит, отношение , а это означает расходимость данного ряда.