ОСТАТОЧНЫЕ ЧЛЕНЫ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМУЛ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Чтобы получить представление о точности простейших аппроксимаций значений производных в узловых точках, определяемых формулами (6)-(10), будем предполагать, что данная функция f(x) обладает достаточной для выведения остаточных членов гладкостью. Кроме того, проведем в указанных формулах смещение индексов, т. е. будем считать, что исходная информация о функции соответствует изображенной на Рис. 1, и речь идет об аппроксимации производных в i-м узле x_i и/или в отстоящих от него на расстоянии h узлах x_i–1 и x_i+1.

Рис. 1. К простейшей аппроксимации производных

Знание структуры приближенных выражений для производных, полученных из интерполяционных соображений, позволяет без особого труда (по крайней мере, для симметричных аппроксимаций) вывести формулы их остаточных членов, манипулируя разложениями f(x) по формуле Тейлора подходящих порядков. Покажем это.

Простейшая несимметричная аппроксимация f'(x_i) (формулы первого порядка точности).

Запишем представление функции f(x) по формуле Тейлора в окрестности точки x_i:

.

Выразив отсюда f'(x_i), имеем

. (13)

Первый член правой части этого равенства — разностное отношение, аппроксимирующее производную вблизи x_i, а второй — остаточный член, характеризующий точность такой аппроксимации. При фиксировании в (13) x = x_i–1 одновременно зафиксируется и неизвестная точка ξ = ξ_i–1 Î (x_i–1; x_i); таким образом, приходим к формуле левой аппроксимации f'(x_i) с остаточным членом:

. (14)

Аналогично при x = x_i+1 из (13) получаем формулу правой аппроксимации f'(x_i) с остаточным членом:

. (15)

В приближенных равенствах

(16)

при i = 0 и

(17)

при i = 1 узнаём выведенные ранее формулы (6), (7), а остаточные члены в (14), (15) указывают на то, что, пользуясь аппроксимациями (16), (17), мы совершаем ошибку O(h), т.е. эти формулы имеют первый порядок точности. Определенную информацию об ошибках левой и правой аппроксимаций первого порядка дает знание знаков остаточных членов.

Простейшая симметричная аппроксимация f'(x_i) (формула второго порядка точности)

Из разложения

при x = x_i+1 и x = x_i–1 имеем соответственно

и

.

Выполнив почленное вычитание двух последних равенств, получаем

,

откуда с помощью теоремы о среднем, примененной к сумме третьих производных в скобках, приходим к формуле симметричной аппроксимации f'(x_i) с остаточным членом:

, (18)

где ξ_i — некоторая точка интервала (x_i–1; x_i+1).

«Основная» часть формулы (18) —

— (19)

при i = 1 совпадает с (9), а вид ее остаточного члена означает, что аппроксимация (19) имеет второй порядок точности относительно шага h.