Понятие о рекуррентных формулах

Иногда интегрирование по частям позволяет получить соотношение между неопределенным интегралом, содержащим степень некоторой функции, и аналогичным интегралом, но с меньшим показателем степени той же функции. Подобные соотношения называются рекуррентными формулами.

Выведем рекуррентную формулу для интеграла , где n – целое положительное число.

D При n=1 имеем табличный интеграл .

Пусть n>1. Представив единицу в числителе как разность , получим

.

Во втором интеграле применим метод интегрирования по частям:

, , , .

Тогда . Следовательно,

, откуда .

Таким образом, интеграл выражен через :

(n>1) . Ñ

Проверим нашу готовность приступить к интегрированию основных классов элементарных функций, вычислив интеграл , последовательно применяя методы непосредственного интегрирования, подведения функции под знак дифференциала и интегрирование по частям.

D

. Ñ

Вычислим также интеграл

I=

Далее полагаем u=e^ax , dv=cosbxdx, du=ae^axdx, v= sinbx. Следовательно

Получаем уравнение относительно неизвестного интеграла I. Решая его, находим

или = .

* Дифференциал функции сохраняет одно и то же выражение независимо от того, является ли ее аргумент u независимой переменной или функцией от независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью, т.е. неизменностью формы дифференциала.