Анализ процессов с помощью временных рядов

Временной ряд представляет собой ряд наблюдений за каким-то определенным параметром изучаемой системы в дискретные, равноотстоящие моменты времени. Особый интерес при этом представляет проблема прогнозирования будущих состояний системы исходя из текущих и прошлых значений временного ряда. В зависимости от исходных предположений относительно прогнозирующей функции и вероятностных интервалов прогнозирования результаты прогнозирования будущих состояний системы могут сильно различаться.

Методы прогнозирования можно разделить на статистические и причинно-следственные методы. Причинно-следственные метода весьма сложны и включают помимо модели самой системы построение модели окружающей её среды. Прогноз, сделанный на основе такой модели, позволяет объяснять будущее системы, исходя из её внутренних свойств. Статистические методы прогноза исходят исключительно из внешних проявлений поведения системы.

Обычно статистические методы включают в рассмотрение: 1) исходные данные; 2) модели прогноза; 3) методы сглаживания; 4) ошибки прогноза.

1). При рассмотрении исходных данных следует исключить выбросы, т.е. те наблюдения, которые не характерны для прогнозируемого процесса. После этого удобно принять предположение о том, что ошибки в исходных данных подчиняются закону нормального распределения.

2). Если в момент Т задана последовательность наблюдении Х_t для t < Т, то прогнозирующая модель задает множество выходных переменных в векторной форме X_T+t = А_TF(t), где вектор А_T представляет собой вектор коэффициентов модели, получаемых по результатам наблюдений за поведением системы до наступления момента Т; матрица F – некоторый набор аппроксимирующих функций. Многие модели могут быть представлены полиномами F_i:

F₁(t)=1, F₂(t)=1/2t(t-1) и т.д.

Довольно часто для анализа локальных изменений достаточно использовать полином 1-й степени (прямую).

3). Система сглаживающих множителей включает весовые множители W_j при каждом j-м наблюдении. Простейший ряд равных весовых множителей W_j = 1 для всех 0 < j < Т придает одинаковую значимость каждому члену ряда. Скользящее среднее представляет собой оценку по методу наименьших квадратов единственной константы модели прогноза для представления исходных данных с одинаковыми весовыми множителями. Этому случаю соответствует аппроксимирующая функция F(t) = 1 для всех t.

4). Ошибки прогноза оцениваются аналогично погрешностям физических изменений.

Как форму прогноза, статистические методы позволяют выявить тенденции временных рядов. В качестве примера рассмотрим выявление сложившихся тенденций изменения отдельного параметра производственной системы. Тенденция может быть явной либо неявной. Явная тенденция не требует дополнительных методов исследования в отличие от неявной тенденции. Для выявления неявной основной тенденции используются такие приемы, как укрупнение интервалов наблюдений, расчет средних уровней, построение средней, аналогическое выравнивание рядов динамики.

Рассмотрим, как выявляется тенденции на примере изменения некоторого производственного показателя (выпуска продукции) с помощью метода скользящей средней. Сущность метода скользящей средней заключается в том, что вычисляются средние значения показателя сначала, например, из первых четырех значений ряда динамики, т.е. с первого по четвертый месяц, затем также из четырех значений, но начиная со второго по пятый месяц, далее берется среднее с третьего по шестой месяцы и т. д.

Каждое звено скользящей средней характеризует средний уровень показателя за соответствующий период. При графическом изображении каждое звено относят к тому периоду, где проводилось усреднение.

Другим распространенным методом выявления тенденций является выравнивание данных по прямой. Прямая x_t=a₀+a₁t, аппроксимирующая исходные данные, определяется методом наименьших квадратов.

Для иллюстрации рассмотрим следующий пример аппроксимации:

Месяц	Выпуск продукции Xt (н.час)	Отсчет времени, t	Xt*t	t2	Выровненные значения
	36.9	-9	-242.1		23.83
	25.1	-7	-175.7		25.17
	30.9	-5	-154.5		26.51
	29.3	-3	-77.9		27.85
	22.7	-1	-22.7		29.79
	26.9		26.9		30.53
	32.3		96.9		31.87
	24.0		220.0		33.21
	27.1		259.7		34.55
	33.4		300.6		35.85
Итого	298.6		221.2	330.0	298.6

Методом наименьших квадратов определяется свободный член аппроксимирующей линейной зависимости а₀ и её наклон а₁.

;

В результате имеем следующий временной ряд, выровненный по прямой:

В некоторых случаях целесообразно использовать временной ряд с экспоненциальным затуханием весовых множителей w_j=a^j, а<1. Эти множители придают большой вес более поздней информации. Величина а определяется для различных уровней и тенденций путем систематического исследования точности прогнозов, получаемых с разными весовыми функциями. Уточнение прогноза производится по принципу обратной связи, т.е. новые прогнозы корректируют с учетом ошибок в предыдущих. Существуют теоретические обоснования величины a=0.9.

Возможен подход к прогнозированию, ставящий каждому наблюдению до его проведения в соответствие ряд первичных вероятностных коэффициентов модели. После того, как получены результаты наблюдений, по теореме Байеса определяют апостериорные вероятности. Теорема Байеса имеет вид:

где р(Е) – априорная вероятность; S - информационная выработка (данные); р'(Е) - апостериорная вероятность события Е; P(S|E) - вероятность S при данном событии Е.

Основываясь на апостериорных вероятностях можно вычислить распределение вероятностей прогнозируемой величины. Такой подход позволяет игнорировать кратковременные изменения прогнозируемой величины и в то же время выявлять изменения уровня и тенденции временного ряда.