Усовершенствованный метод Эйлера.
Пусть дано дифференциальное уравнение (1) и заданы начальные условия (2). Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке . Разобьем отрезок на n равных частей точками ,
где ‑ шаг интегрирования.
Суть усовершенствованного метода Эйлера состоит в следующем.
Найдем вспомогательное значение искомой функции
в промежуточной точке при помощи формулы
. (6)
Затем вычислим значение и, наконец, получим:
. (7)
Геометрический смысл решения иллюстрируется рисунком 2.
Пример. При помощи усовершенствованного метода Эйлера найдем решение уравнения
на отрезке , если известно, что а .
Результаты вычислений будем записывать в таблицу 2.
В первой строке таблицы записываем х0 =0, у0 = 1. Вычисляем: для по формуле (6) находим
.
Затем вычисляем и по формуле (7) имеем:
.
Во вторую строку таблицы записываем . Дальнейшие вычисления проводятся аналогично.
Таблица B
k | Точное решение | ||||||
0,1 | 0,1 | 1,1 | 0,1836 | 1,00 | |||
0,2 | 1,1836 | 0,0846 | 0,3 | 1,2682 | 0,1590 | 1,1832 | |
0,4 | 1,3426 | 0,0747 | 0,5 | 1,4173 | 0,1424 | 1,3416 | |
0,6 | 1,4850 | 0,0677 | 0,7 | 1,5527 | 0,1302 | 1,4832 | |
0,8 | 1,6152 | 0,0625 | 0,9 | 1,6777 | 0,1210 | 1,6124 | |
1,0 | 1,7362 | 1,7320 |
Абсолютная погрешность значения равна 0,0042, относительная погрешность менее 0,3%.
Для получения оценки погрешности часто выполняют двойной пересчет: с шагом h получают и с шагом получают .
Если - точное значение решения в точке , то погрешность для оценивается при помощи равенства
. (8)
Метод Рунге–Кутта. Пусть дано дифференциальное уравнение (1) с начальными условиями (2).
Если ‑ приближенное значение решения уравнения в точке , то значение в точке хi+1 =хi + h будет равно:
. (9)
Для определения разложим функцию в ряд Тейлора:
Производные , ... могут быть найдены последовательным дифференцированием уравнения (1). Можно показать, что с точностью до членов четвертого порядка значение определится по формуле
, (10)
где
(11)
Таким образом, применение метода Рунге–Кутта сводится к последовательному вычислению значений:
(12)
(13)
и к нахождению значений по (9)
.
Все вычисления удобно выполнять по определенной схеме (см. таблицу 3).
В первый раздел таблицы сначала записывают начальные значения х0, у0, а затем результаты вычислений по формулам (12) и (13). Аналогично заполняются и второй раздел таблицы , если считать, что начальной точкой является точка .
Оценка погрешностей полученных значений решения сложна. На практике обычно пользуются двойным пересчетом при шаге и шаге .
Абсолютная погрешность находится с помощью равенства
, (14)
где - значение точного решения в точке и - приближенные значения, полученные соответственно при шаге и шаге .
Если - заданная точность решения, то n - число точек деления выбирается так, чтобы шаг удовлетворял условию
. (15)
Пример. Пусть дано дифференциальное уравнение
с начальными условиями .
Найдем решение уравнения на отрезке с точностью до .
Выберем шаг, используя условие (15),
.
Получим .
Возьмем и разобьем отрезок на шесть равных частей точками:
Найденные значения заносим в таблицу 4. Вычисления будем проводить с двумя запасными цифрами. Точным решением уравнения является функция
.
Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 59;