Приближенные методы решения дифференциальных уравнений.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Постановка задачи.Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

(1)

Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

(2)

где ‑ заданные числа.

Задача Коши имеет единственное решение, удовлетворяющее условию (2), если функция непрерывна в некоторой окрестности точки и если в этой окрестности существует ограниченная частная производная .

Геометрически общее решение дифференциального уравнения (1) изображается в виде семейства интегральных кривых, лежащих в некоторой области на плоскости.

При выполнении выше сформулированных условий через точку плоскости будет проходить единственная интегральная кривая, которая и является решением задачи Коши.

Приближенные методы решения дифференциальных уравнений.

Большинство дифференциальных уравнений, с которыми приходится иметь дело на практике, может быть решено только с помощью приближенных методов, которые можно разбить на три вида:

а) аналитические, позволяющие получить приближенное решение в виде аналитического выражения;

б) графические, дающие возможность приближенного построения интегральной кривой;

в) численные, в результате применения которых, получается приближенное решение в виде таблицы значений искомой функции.

Рассмотрим лишь некоторые численные методы.