Численные методы решения дифференциальных уравнений
Метод Эйлера.Этот метод применяется в основном при проведении ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в его основу, являются исходными при разработке многих других методов.
Пусть дано дифференциальное уравнение (1) и заданы начальные условия (2),
Требуется найти решение у= у(х) уравнения (1) на отрезке , удовлетворяющее условию (2).
Будем предполагать, что на отрезке [a; b], где ищется решение, выполнены все условия, обеспечивающие существование и единственность решения задачи Коши.
Разобьем отрезок [a; b] точками , где ‑ шаг интегрирования), на n равных отрезков.
Проинтегрируем уравнение (1) по отрезку
и получим:
.
Если шаг h достаточно мал, то можно считать, что
и тогда:
или ,
где
.
Точно так же, интегрируя по отрезку , получим:
, где .
Вообще:
,
где .
обозначим , тогда:
(3)
Реализация метода Эйлера сводится к последовательному вычислению разностей искомой функции и нахождению приближенных значений
в точках .
Геометрический смысл метода состоит в том, что интегральная кривая
заменяется приближенно ломаной , звенья которой имеют постоянную проекцию, равную h.
Первое звено будет касаться интегральной кривой в точке , остальные ‑ “соседних” интегральных кривых, проходящих через точки (рис. 1).
При вычислении последовательных значений
будет происходить накопление погрешностей, для приближенной оценки которых применяют двойной пересчет с шагом h и .
Если ‑ приближенное значение решения, полученное при расчете с шагом h
‑ улучшенное значение, полученное при шаге
и ‑ точное значение решения,
то абсолютную погрешность определяют из приближенного равенства
. (4)
Пример. Пусть дано уравнение
(5)
и заданы начальные условия .
Выберем шаг интегрирования h=0,2.
Результаты вычислений будем заносить в таблицу.
В первой строке (k=0) записываются начальные значения .
По ним вычисляют , а затем .
Тогда по формуле (3) при k=0, получим
.
Значения и записывают во второй сроке k=1.
Затем вычисляют:
и
.
По формуле (3) при k=1 получим:
.
Дальнейшие вычисления выполняются аналогично.
Таблица A
k | Точное решение | |||||
0,0 | 1,0000 | 1,0000 | 0,2000 | 1,0000 | ||
0,2 | 1,2000 | 0,3333 | 0,8667 | 0,1733 | 1,1832 | |
0,4 | 1,3733 | 0,5928 | 0,7805 | 0,1561 | 1,3416 | |
0,6 | 1,5315 | 0,7846 | 0,7458 | 0,1492 | 1,4832 | |
0,8 | 1,6811 | 0,9532 | 0,7254 | 0,1451 | 1,6124 | |
1,0 | 1,8269 | 1,7320 |
В последнем столбце таблицы приведены значения точного решения . Сравнивая результаты, замечаем, что погрешности вычисляемых значений решения возрастают. Абсолютная погрешность последнего значения составляет 0,0917, относительная погрешность равна примерно 5%.
Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 60;