Ортогональные системы функций

Рассмотрим множество кусочно-непрерывных функций заданных на отрезке При этом в точках разрыва значением функции будем считать полусумму пределов слева и справа. Скалярное произведение двух функций этого множества определим следующим интегралом

(1)

Можно убедиться, что интеграл (1) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Поэтому множество кусочно-непрерывных функций является евклидовым пространством. Обозначим его

Евклидово пространство, как известно, является одновременно метрическим и нормированным. Норма и метрика, согласованные со скалярным произведением, определяются формулами

(2)

Определение 1.Последовательность элементов евклидова пространства называется ортонормированной, если где символ Кронекера.

В качестве примера ортонормированной последовательности (системы) функций рассмотрим последовательность тригонометрических функций, определенных на отрезке

(3)

Убедимся, что последовательность (3) ортонормированная. Обозначим

(Четный индекс отвечает косинусам, нечетный - синусам).

Тогда

Итак, первый член последовательности (3) ортогонален всем последующим.

Аналогично найдем

Итак, мы убедились, что последовательность (3) является ортонормированной на отрезке

Пусть на интервале определена непрерывная функция такая, что

(4)

где ( называется весовой функцией).

Число, определяемое формулой

(5)

для любых двух функций называют скалярным произведением этих функций с весом

Если то функции называются ортогональными с весом. Примером системы функций, ортогональных с весом, является система многочленов Чебышева

(6)

Убедимся, что система (6) ортогональна на отрезке с весовой функцией

Действительно,

(7)

Из (7) видно, что многочлены Чебышева (6) ортогональны с весом, причем

Можно доказать, что система функций Бесселя где к-й корень уравнения ортогональная на отрезке с весом причем (8)

Кроме приведенных выше существует множество других ортогональных систем функций, например, многочлены Лежандра, Лагерра, Якоби и др.

Упражнение. Доказать, что последовательность тригонометрических функций ортогональна на отрезке Нормировать эту последовательность.