Метод итераций (метод последовательных приближений)

Этот метод похож на метод отделения корня. Найденный интервал изоляции каждый раз делится на части (чем больше частей, тем точнее корень). Но, поскольку метод итераций является уточняющим корень до заданной точности, то процесс отделения корня повторяется многократно, пока не будет достигнута заданная точность (рис.3).

Рис.3. Метод итераций

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ (СЛАУ). МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Система линейных алгебраических уравнений -система уравнений, каждое уравнение в котором является линейным, т.е. алгебраическим уравнением первой степени. Линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях.

Рассмотрим методы решения СЛАУ в электронной таблице Calc.

В Calc методов решения СЛАУ много, но наиболее удобным и простым в реализации является матричный метод, когда систему приводят к матричному виду, т.е. записывают в виде матрицы и производят арифметические действиями над ними.

Матричным уравнением называется уравнение, коэффициенты и неизвестные которого – прямоугольные матрицы соответствующей размерности.

Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы

и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы А и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы.

Алгоритм нахождения неизвестных (рис.4):

ввести матрицу коэффициентов, матрицу свободных членов;

найти определитель матрицы А (|A|);

найти обратную матрицу А^-1;

умножить обратную матрицу А^-1 на матрицу свободных членов В;

выполнить проверку правильности результатов.

*(умножить матрицу коэффициентов А на матрицу решений Х или подставив найденные значения неизвестных в исходные уравнения системы).

Рис.4. Алгоритм решения СЛАУ

Определитель матрицы находят с помощью функции категории массив MDETERM (рис.5.)

Рис.5. Нахождение определителя матрицы

Обратную матрицунаходят спомощью функции категории массив MINVERSE (рис.6.). Для этого необходимо выделить диапазон ячеек, столько же, сколько в матрице свободных членов.

Необходимым и достаточным условиям существования обратной матрицы является невырожденность исходной матрицы. Матрица называется невырожденной или регулярной, если ее определитель отличен от 0 (|А|≠0).

Рис.6. Нахождение обратной матрицы

Умножение матрицвыполняют с помощьюфункции категории массив MMULT (рис 7.).Для заранее этого выделяют столько ячеек таблицы, сколько неизвестных в системе (в нашем случае – 3).