Понятие о z-преобразовании
Для последовательностей мгновенных импульсов вида (9.4)
может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определяемое формулой
(11.1)
Определяя каждый интеграл в выражении (11.1) по аналогии с (9.9), приведём (11.1) к виду:
F(s)= (11.2)
Введём новую комплексную переменную, аналогичную переменной (10.12):
(11.3)
Тогда выражение(11.2) принимает вид:
(11.4)
Функцию F(z) называют z-преобразованием сигнала f(t). Часто формулу(11.4) записывают, опуская обозначение периода дискретности как аргумента функции f(t):
(11.5)
Формулу преобразования (11.5) можно записать в символической форме:
F(z)=Z[f(i)] или F(z)=Z[f(t)], t=iT, i=0,1,2,… (11.6)
Пример. Определить z-преобразование сигнала x(t)=1(t).
Решение. В соответствии с (11.5)
Видно, что X(z) есть сумма бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой а0=1, а знаменатель прогрессии q=z-1. Сумма (n+1) членов прогрессии равна
следовательно,
(11.7)
Рассмотрим некоторые правила и теоремы применительно к z-преобразованию.
1.Свойство линейности.
Изображение линейной комбинации последовательностей равно той же линейной комбинации их изображений.
Пусть f(i)= . (11.8)
Тогда для изображения можно записать
F(z)= . (11.9)
2.Теорема запаздывания и упреждения.
Рассмотрим последовательность f(i-m), сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов m. Тогда из формул (11.5), (11.6) следует
Z[f(i-m)]= f(i-m)z -i . (11.10)
Обозначим в формуле (11.10) r=i-m.Тогда i=r+m, при i=0 r=-m, при , а формула (11.10) примет вид:
(11.11)
Здесь F(z)=Z[f(i)]. Если исходная последовательность f(i) равна нулю при отрицательных значениях аргумента (нулевые начальные условия), то формула(11.11) упрощается:
Z[f(i-m)]=z -mF(z). (11.12)
Если сдвиг происходит влево (упреждение) и рассматривается последовательность f(i+m), где m-целое положительное число, то аналогично случаю запаздывания можно показать, что
(11.13)
Второе слагаемое в правой части(11.13) обращается в нуль, если f(i)=0 при i=0,1,...,m-1.
3.Сумма ординат последовательности.
Формула z-преобразования (11.5) при (что соответствует условию ) даёт сумму ординат последовательности f(i):
F(1)= (11.14)
4. Конечное значение последовательности.
Составим первую прямую разность последовательности f(i) и на основании (11.9) найдём её изображение
Z[∆f(i)]=Z[f(i+1)-f(i)]=Z[f(i+1)]-Z[f(i)]=z[F(z)-f(0)]-F(z)=
=(z-1)F(z)-zf(0).
Далее на основании (11.14) найдём сумму ординат ∆f(i):
(11.15)
Кроме того, можно записать, что сумма ординат ∆f(i) есть разность между значением f(i) при i и начальной ординатой f(0):
(11.16)
Значение f(i) при i есть конечное значение последовательности. Из двух последних выражений следует:
(11.17)
Пример. Определить конечное значение выходной величины y(i) импульсной системы, описываемой разностным уравнением (10.9), при начальных условиях y(-1)=y(-2)=0 и единичной входной последовательности u(t)=1(t), т.е. u(0)=u(1)=...=1, u(i)=0 при i<0.
Решение. Применим к разностному уравнению (10.9) z‑преобразование и на основании свойства линейности получим выражение
Z[y(i)] - 0,27 Z[y(i-1)] + 0,135 Z[y(i-2)] = 0,865 Z[u(i-1)], (11.18)
где Z[y(i)]=Y(z);
Z[y(i-1)]=z -1[Y(z)+y(-1)z]=z -1Y(z);
Z[y(i-2)]=z -2[Y(z)+y(-1)z+y(-2)z2]=z -2Y(z);
Z[u(i-1)]=z -1[U(z)+u(-1)z]=z -1U(z) .
В соответствии с (11.7) изображение единичной последовательности
Z[u(i)]=U(z)= .
Из уравнения (11.18) определим изображение выходной величины:
Y(z)=
Конечное (установившееся) значение выходной величины найдём по формуле (11.17):
.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 103;