Теорема о разложении в ряд Фурье

Сопоставим каждому двоичному вектору линейную двоичную функцию (сокращенно ( )), и определим функции:

Например, векторам и соответствуют функции

и

соответственно.

Всего имеется функций вида . Как показывает следующая лемма, они образуют ортогональную систему функций.

Лемма 2.16. Для любых векторов справедливы равенства:

Доказательство. Сначала заметим, что

Поскольку линейная функция при принимает значение 0 ровно . Теперь

Отсюда и следует утверждение леммы.

Теорема 2.17 (о разложении в ряд Фурье). Для всякой двоичной функции имеется единственное разложение вида: , где коэффициенты являются рациональными числами. При этом значения коэффициентов определяются равенствами

.

Доказательство. Докажем сначала, что указанная сумма представляет функцию . Имеем:

поскольку в последней сумме будет только одно нулевое слагаемое при y = x.

Покажем теперь, что коэффициенты однозначно определяются по функции . Предположим, существует другое разложение . Тогда . Домножив обе части этого равенства на для и просуммировав по полученные равенства, получаем:

Отсюда . Так как b — произвольный вектор из , получаем требуемое утверждение.

Определение 2.18. Коэффициенты , , называются коэффициентами Фурье функции .

Л е к ц и я 3