Нормальные формы двоичных функций

Всюду в этом параграфе рассматриваются формулы над классом . Обозначим через функцию

Очевидно, что тогда и только тогда, когда , .

Определение 2.1. Элементарной конъюнкцией называется формула вида , где все переменные различны. Рангом элементарной конъюнкции называется число входящих в неё переменных.

Непосредственно из определения 2.1 получаем, что элементарная конъюнкция принимает единичное значение в том и только том случае, когда , . Этот факт запомним как свойство элементарных конъюнкций.

Определение 2.2. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется формула вида , где дизъюнкция берется по некоторым наборам , и , .

Обозначим через функцию, полученную из функции фиксацией первых переменных значениями . Из следующей теоремы вытекает, что любую двоичную функцию можно задать с помощью ДНФ.

Теорема 2.3(о разложении функции). Пусть k такое, что . Тогда двоичную функцию можно представить в виде:

. (2.1)

Доказательство. Покажем, что функция, стоящая в левой и правой частях равенства (2.1), принимает одинаковое значение при одинаковых значениях переменной. Пусть . Тогда в силу свойств элементарных конъюнкций значение функции из правой части равно:

= .

Теорема доказана.

Следствие 2.4.

. (2.2)

Доказательство. Следует из теоремы 2.3, если положить

Следствие 2.5.

. (2.3)

Доказательство. Вытекает из следствия 2.4 при перенумерации переменных.

Замечание 2.6. Разложение (2.2) называется разложением Шеннона, хотя формально ему не принадлежит.

Следствие 2.7.

. (2.4)

Доказательство. Следует из теоремы 2.3, если положить .

Замечание 2.8. В разложении (2.4) можно опустить все элементарные конъюнкции, которым соответствуют нулевые значения функций. Полученная в результате формула имеет вид:

. (2.5)

Определение 2.9. Равенство (2.5) называется совершенной ДНФ (СДНФ) функции .

Как построить СДНФ функции ?

СДНФ двоичной функции легко построить по ее табличному заданию. С этой целью для каждого набора аргументов , на котором функция принимает единичное значение, строится элементарная конъюнкция ранга по правилу:

. (2.6)

Затем берется дизъюнкция всех построенных элементарных конъюнкций. Приведём пример.

Пример 2.10. Пусть функция задана табл.2.1.

Таблица 2.1

Построим для неё СДНФ:
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

Поэтому:

Заметим, что СДНФ является частным случаем ДНФ. В ней все элементарные конъюнкции имеют ранг .

Отличительной особенностью СДНФ является то, что она однозначно определяется по функции с точностью до перестановки конституент.

Действительно, все элементарные конъюнкции в ней находятся во взаимно-однозначном соответствии с векторами из области истинности функции: .

В отличие от СДНФ, ДНФ не однозначно соответствует функции. Так функция из предыдущего примера может быть записана в виде следующих ДНФ:

Аналогично ДНФ вводятся конъюктивные нормальные формы (КНФ). Они являются конъюнкциями элементарных дизъюнкций и имеют вид , где конъюнкция берется по некоторым наборам , , . Как и в случае СДНФ можно показать, что функции соответствует однозначно определенная КНФ (называемая совершенная КНФ), в которой все элементарные дизъюнкции имеют ранг . Её можно получить из СДНФ функции : с помощью соотношений: , . Из свойств 1.10 и 1.11 равносильных формул имеем: