Производные и дифференциалы высших порядков
Поскольку производная функции в свою очередь есть функция от х, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и вычислении производной.
Определение 1. Производная от производной функции называется производной 2-го порядка или второй производной функции . Производная от 2-ой производной называется производной третьего порядка или третьей производной и т.д., производная от производной n-го порядка называется производной - го порядка. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются:
или .
Могут встречаться и другие обозначения производных высших порядков.
Производная называется также производной 1-го порядка.
Примеры производных порядка n: .
Выясним механический смысл 2-ой производной. , как известно, есть скорость изменения функции относительно аргумента х. Поэтому 2-я производная , как производная от производной, есть скорость изменения скорости, т.е. ускорение изменения функции относительно аргумента х.
Вычислим производную 2-го порядка функции, заданной параметрически уравнениями . Заметим, что . Поступая так же, как при вычислении первой производной, получим
= .
Таким образом,
.
Определим дифференциалы высших порядков. Заметим, что в формуле , т.е. от х не зависит, − функция от х, значит, и есть функция от х. Поэтому можно говорить о дифференциале от дифференциала .
Определение 2. Дифференциал от дифференциала функции в некоторой точке называется дифференциалом 2-го порядка в этой точке и обозначается . Дифференциал от дифференциала 2-го порядка называется дифференциалом 3-го порядка и обозначается и т.д. Дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка называется дифференциалом n-го порядка и обозначается .
Получим формулы для вычисления дифференциалов высших порядков функции , имеющей в точке х производные любого порядка. Имеем
,
,
.
Из последней формулы получаем, что , т.е. обозначение можно рассматривать не только как символ, но и как дробь.
Сохраняется ли инвариантность формы дифференциалов высших порядков? Рассмотрим дифференциал 2-го порядка. Если х – функция, то
.
Если же х независимая переменная, то
.
Видим, что две последние формулы отличаются друг от друга слагаемым , т.е. уже для дифференциала 2-го порядка форма его изменяется при замене независимой переменной функцией.
Таким образом, дифференциалы высших порядков свойством инвариантности формы не обладают.
Дата добавления: 2016-06-09; просмотров: 1651;