Производные и дифференциалы высших порядков

Поскольку производная функции в свою очередь есть функция от х, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и вычислении производной.

Определение 1. Производная от производной функции называется производной 2-го порядка или второй производной функции . Производная от 2-ой производной называется производной третьего порядка или третьей производной и т.д., производная от производной n-го порядка называется производной - го порядка. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются:

или .

Могут встречаться и другие обозначения производных высших порядков.

Производная называется также производной 1-го порядка.

Примеры производных порядка n: .

Выясним механический смысл 2-ой производной. , как известно, есть скорость изменения функции относительно аргумента х. Поэтому 2-я производная , как производная от производной, есть скорость изменения скорости, т.е. ускорение изменения функции относительно аргумента х.

Вычислим производную 2-го порядка функции, заданной параметрически уравнениями . Заметим, что . Поступая так же, как при вычислении первой производной, получим

= .

Таким образом,

Определим дифференциалы высших порядков. Заметим, что в формуле , т.е. от х не зависит, − функция от х, значит, и есть функция от х. Поэтому можно говорить о дифференциале от дифференциала .

Определение 2. Дифференциал от дифференциала функции в некоторой точке называется дифференциалом 2-го порядка в этой точке и обозначается . Дифференциал от дифференциала 2-го порядка называется дифференциалом 3-го порядка и обозначается и т.д. Дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка называется дифференциалом n-го порядка и обозначается .

Получим формулы для вычисления дифференциалов высших порядков функции , имеющей в точке х производные любого порядка. Имеем

Из последней формулы получаем, что , т.е. обозначение можно рассматривать не только как символ, но и как дробь.

Сохраняется ли инвариантность формы дифференциалов высших порядков? Рассмотрим дифференциал 2-го порядка. Если х – функция, то

Если же х независимая переменная, то

Видим, что две последние формулы отличаются друг от друга слагаемым , т.е. уже для дифференциала 2-го порядка форма его изменяется при замене независимой переменной функцией.