Односторонние пределы

Определение 1 (Гейне). Число А называется правым пределом функции в точке (или пределом функции в точке справа), если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к и такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Определение 2 (Коши). Число А называется правым пределом функции в точке (или пределом функции в точке справа), если для любого найдется , такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству

выполняется неравенство

Пишут: , а если , то , или, короче, и .

Совершенно аналогично даются определения односторонних пределов слева. Пишут: или .

Пример 1. Пусть Тогда , , поэтому не существует.

Имеет место

Теорема 1. Для того чтобы функция имела предел в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке равные односторонние пределы. При этом

Это достаточно очевидно.

Введем теперь понятие предела функции на бесконечности.

Определение 3 (Гейне). Число А называется пределомфункции при , если для любой бесконечно большой последовательности последовательность значений сходится к числу А.

Определение 4 (Коши). Число А называется пределомфункции при , если для любого найдется , такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Пишут: .

Докажем, например, что . Пусть – произвольная бесконечно большая последовательность. Тогда, как известно, – бесконечно малая последовательность, поэтому по определению 3.