Симметрические преобразования

Все положения, касающиеся линейных преобразований линейных пространств, конечно, остаются в силе и для евклидовых пространств. Наличие скалярного умножения в евклидовых пространствах позволяет определить некоторые важные классы преобразований, изучением которых мы займемся в данной лекции.

Рассмотрим п-мерное евклидово пространство E^п и линейное преобразование : E^п ® E^п.

Определение 11

Преобразование : E^п® E^п называется симметрическим или самосопряженным, если ( х, у) = (х, у) для любых х, у Î E^п.

Примерами симметрических преобразований являются тождественное, нулевое преобразования. Матрицы этих преобразований, как видно из примера 6.2, симметрические.

Симметрические преобразования обладают следующими свойствами:

1. Сумма симметрических преобразований и произведение симметрического преобразования на число являются симметрическими преобразованиями.

2. Все характеристические числа симметрического преобразования (симметрической матрицы) есть действительные числа, и, следовательно, симметрическое преобразование пространства E^п имеет ровно п собственных значений (с учетом их кратности).

3. Собственные векторы симметрического преобразования (симметрической матрицы), соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

4. Симметрическое преобразование евклидова пространства в любом ортонормированном базисе задается симметрической матрицей. И наоборот, если линейное преобразование евклидова пространства хотя бы в одном ортонормированном базисе задается симметрической матрицей, то это преобразование – симметрическое.

Докажем, например, свойство 3. Пусть l₁, l₂ – собственные числа симметрического преобразования , причем l₁¹l₂, а и₁ и и₂ – соответствующие им собственные векторы, т.е. и₁= l₁и₁, и₂= l₂и₂. Так как – симметрическое преобразование, то имеем