Определение неопределённого интеграла.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции на X и обозначается . Функция называется подынтегральной функцией для , а произведение называется подынтегральным выражением.

Таким образом,

.

На практике принята более короткая запись:

.

Свойства неопределённого интеграла.

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если , то и

.

Последнее равенство следует понимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

.

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

.

В частности, , где .

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы (разности) двух или нескольких функций равен сумме (разности) их интегралов:

.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если a=const, то

.

Таблица интегралов

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
.
10.
.
11.
12.
13.

Метод вычисления интегралов, при котором они сводятся к табличным путём применения к ним основных свойств неопределённых интегралов, называется непосредственным интегрированием.

Примеры:

1)

2)

Используем формулу: .

При вычислении неопределённого интеграла часто применяется следующее правило:

Если , то .

Примеры:

1)

2)