Производные различных порядков

Пусть на некотором множестве определена дифференцируемая функция . Производная этой функции также является функцией от . Следовательно, можно говорить о производной этой функции, т.е. о производной от первой производной. Если она существует, то её называют производной второго порядка функции или второй производной от первоначальной функции и обозначают или :

.

Аналогично, если существует производная от второй производной, то она называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается через или :

.

Производной n-го порядка от функции называется производная первого порядка от производной -го порядка и обозначается символом или :

.

Производные четвёртого, пятого и высших порядков обозначаются или .

Примеры:

1) Найдите для функции .

Решение. , , , .

2) Найдите для функции .

Решение. , , , .

Докажем формулу для методом математической индукции.

Для получаем , таким образом, формула верна.

Предположим, что формула верна для , т.е. .

Докажем, что формула верна для :

.

Таким образом, формула верна для любого .

Для производных n-го порядка справедливы формулы:

,

,

а также формула Лейбница:

.