ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Пределы и принято называть первым и вторым замечательными пределами ввиду их важности в дальнейших приложениях.

Теорема 1. Предел существует и равен единице.

~ при

Доказательство:

Рассмотрим единичную окружность, пусть - угол ( ).

,

,

,

,

.

Получаем неравенство , т.е. .

Поделим последнее неравенство на :

.

Отсюда следует

. (*)

Так как и – чётные функции, то неравенство (*) выполняется для , т.е. (*) имеет место в проколотой окрестности .

Так как , и выполняется (*), то (по теореме о пределе промежуточной функции).

Примеры:

1) ~ при

2) ~ при

~ при

~ при

3) ~ при

замена: , ,

4) ~ при

замена: , ,

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Теорема. Функция стремится при к пределу e:

(неопределённость ).

Обозначим , . Тогда

.

Таким образом, .

Некоторые примеры пределов функций.

1)

Доказательство:

Следствие 1. Пусть , тогда , т.е. ~ при .

2)

Доказательство:

, замена: ,

Следствие 2. Пусть , тогда , т.е. ~ при .

3)

Доказательство:

,

,

По следствию 1 ~ при .

Следствие 3. , т.е. ~ при .

Тема 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ