Геометрическая иллюстрация.

Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках и , то на этой кривой найдётся, по крайней мере, одна точка , в которой касательная параллельна оси Ox.

Замечание 1. Доказанная теорема остается справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка не обращается в нуль, но принимает равные значения .

Замечание 2. Все три условия теоремы необходимы.

1) Нарушено первое условие, функция имеет разрыв в точке , для всех .

2) Нарушено второе условие теоремы, не существует, для всех .

3) Нарушено третье условие теоремы, , для всех .

Пример:Проверим, применима ли теорема Ролля к функции на отрезке . Найдём точку c, в которой .

Функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале , ;

3) .

Тогда существует точка , такая, что .

В качестве точки c можно выбрать также .

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)

Теорема Лагранжа. Если функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

то существует, по крайней мере, одна точка , такая, что

. (1)