Метод последовательных интервалов

Общим методом решения любых задач, требующих выявления харак-

тера относительного движения ротора одного или нескольких генера­торов, является метод численного интегрирования дифференциальных уравнений системы. Одним из них является метод последовательных ин­тервалов. Большим его достоинством является то, что он дает картину протекания процесса во времени на начальной стадии переходного процесса и благодаря этому позволяет ввести в расчет такие факторы, влияние которых зависит от времени. Так, например, с помощью метода последовательных интервалов можно уста­новить предельное время отключения КЗ, учесть действие регуляторов воз­буждения, изменение реакции статора во времени и т. д.

Уравнение движения ротора, решаемое в дальнейшем методом последовательных интервалов, можно записать следующим образом:

. (3.28)

Решение этого уравнения в форме даёт картину изменения угла во време­ни и позволяет установить, останется ли машина в синхронизме или нет. Однако уравнение (3.28) является нелинейным дифференциальным урав­нением второго порядка и поэтому не может быть решено путём прямого интегриро­вания, за исключением частного случая, когда мощность генератора, выдаваемая в сеть, Р_г = Р = 0. Поэтому в большинстве случаев задачу приходится решать ме­тодом численного интегрирования уравнения.

Применяемый в дальнейшем метод последовательных интервалов для численного интегрирования уравнения движения ротора позволяет найти решение в конечных приращениях. Для этого весь процесс относительного движения машин разбивается на ряд небольших интервалов времени , и для каждого из этих интервалов последовательно вычисля­ется приближенное значение приращения угла . В момент КЗ мощность, отдаваемая генера­тором в сеть, падает и при этом возникает избыток мощности: . Для достаточно малого интервала времени можно допустить, что этот избыток мощности в течение рассматриваемого интервала времени будет оставаться неизменным. И тогда по формулам равномерно ускоренного движения можно вычислить приращение угловой скорости и приращение угла в те­чение первого рассматриваемого интервала времени по следующим выражениям

, (3.29)

, (3.30)

где – это ускорение в течение первого интервала времени:

. (3.31)

Следует заметить, что относительная угловая скорость машины в момент КЗ равна нулю, и поэтому относительная угловая скорость машины в конце первого рассмат­риваемого интервала времени будет равна приращению угловой скорости за этот ин­тервал времени

. (3.32)

С учетом выражений (3.30), (3.31), получим

. (3.33)

В этом уравнении угол , а также время и постоянная инерции выражены в радианах. В практических же расчётах удобнее пользоваться формулой, когда угол выражен в градусах; пересчёт из радианной меры в градусную можно определить по формуле

. (3.34)

Выражение для перевода времени из радианной меры в секунды:

,(3.35)

(3.36)

Тогда с учетом (3.33), (3.35) и (3.36) в выражении (3.34) получаем, что приращение угла на пер­вом интервале

. (3.37)

В этом выражении угол выражен в градусах, а время и в секундах. Для упрощения обо­значим , тогда (3.37) перепишется в виде

. (3.38)

Выражение (3.38) позволяет определить значение приращения угла на первом интерв­­але времени после возникновения КЗ. Зная это приращение угла в первом интервале времени, можно найти абсолютное значение угла в конце первого рас­сматриваемого интервала времени

. (3.39)

Угол также является углом начала следующего второго интервала времени. Для нового значения угла можем определить избыток мощности

во втором интервале времени по выражению следующего вида

. (3.40)

Этот избыток мощности будет создавать во втором интервале ускорение

.

При вычислении приращения угла на втором интервале времени , а также всех последующих необходимо учитывать, помимо действующей, имеющей место в этом интервале времени, также уже имеющуюся в начале интервала относи­тельную скорость. Тогда для можем записать уравнение

. (3.41)

В этом выражении значение относительной угловой скорости определяется согласно уравнению (3.32) с учётом (3.29):

. (3.42)

Но значение угловой скорости, определяемое по (3.42), является несколько не­точным, т. к. в действительности избыток мощности в первом интервале времени, а соответственно и ускорение не будут являться постоянными величи­нами в течение рассматриваемого первого интервала времени и, следовательно, несколько из­менятся. Поэтому более точные результаты можно получить, если предположить, что ускорение в течение первого интервала времени будет равно значению

(3.43)

И тогда, с учётом (3.43), относительная угловая скорость определяется по выражению

(3.44)

Подставляя (3.44) в (3.41), получим

. (3.45)

Учитывая выражения (3.30) и (3.38) и подставляя в (3.45), запишем

. (3.46)

Выражение (3.46) позволяет определить приращение угла на втором, а также и на всех последующих интервалах времени подобным образом. Теперь, зная и угол в начале второго интервала времени, можем определить абсолютное значение угла

. (3.47)

Этот угол будет также являться и углом в начале третьего интервала времени. Тогда по значению этого угла может определяться избыточная мощность

. (3.48)

Приращение угла на третьем интервале времени определяется подобно (3.46):

и т. д.

Расчет величин на остальных интервалах производится подобно второму интервалу времени. Если же в начале какого-либо интервала времени происходит резкое изменение режима, например отключение повреждённой цепи или ЛЭП (рис. 3.21.), то тогда в нача­ле этого интервала времени избыток мощности будет внезапно изменяться от , определяемого до отключения, до , определяемого после отключения:

,

.

При вычислении приращения угла в первом интервале после момента отключения эти избытки мощности должны быть определены как средняя величина, тогда

. (3.49)

Рис. 3.21. Угловые характеристики ЭЭС при резком изменении режима

При расчёте современных мощных ЭЭС интервал (шаг численного интегрирования) принимают равным − с. Наиболее точные результаты могут быть получены при меньшем шаге численного интегрирования . Причём этот шаг должен выби­раться тем меньше, чем меньше постоянная времени протекания переходного про­цесса в различных контурах. При меньшей величине погрешность расчёта на каж­дом интервале будет меньше, но количество интервалов возрастает, и, следовательно, увеличивается длительность расчёта. Поэтому при расчётах вручную выбирают = 0,05 с. Следует отметить, что рассматриваемый метод последо­вательных интервалов не предусматривает контроля погрешности, автомати­ческого изменения шага интегрирования при понижении точности ниже заданной, также не предусматривает внесения поправок. Поэтому в практике эксплуатации электроэнергетических систем в современных промышленных программах при интегрирова­нии используют не этот метод, а метод Рунге-Кутта IV порядка. Расчёт методом по­следовательных интервалов ведётся до тех пор, пока угол не начнет уменьшаться (рис. 3.22)

Рис. 3.22. Зависимость изменения угла во времени: 1 − динамически устойчивый переход; 2 − неустойчивый переход

− кривая 1, что соответствует динамически устойчивому переходу, или же до тех пор, пока не будет выяснено, что угол беспрепятственно возрастает − кривая 2, и это уже соответствует динамически неустойчивому переходу, т. е. в данном случае будет нарушаться синхронный режим, и ЭЭС переходит в асинхронный режим рабо­ты.