Моменты инерции простейших однородных тел

Получим формулы для вычисления моментов инерции некоторых простых тел.

Однородный стержень

Имеем однородный стержень длиной L и массой М. Вычислим момент

инерции стержня относительно оси Сz, проходящей через центр масс стержня и перпендикулярной к нему (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Для этого нужно просуммировать все массы, умноженные на квадраты расстояния x до оси Cz. Тогда, согласно(2.7), имеем

.

Если разделить стержень на отрезки длиной dx, то соответствующий элемент массы будет пропорционален dx (dm~dx), а если бы dx составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна М (M~L). Поэтому

Вычисляя интеграл, получаем

.

Таким образом,

. (2.15)

Размерность момента инерции всегда равна массе, умноженной на квадрат длины (кг м²), так что единственная величина, которую мы вычислили, это множитель .

Момент инерции стержня относительно оси , проходящей перпендикулярно стержню через его конец, параллельно zС, определяется по теореме Гюйгенса-Штейнера:

, где .

Следовательно, .