Проводящий шар в однородном внешнем электростатическом поле.

Рассмотрим проводящий изначала незаряженный шар радиуса во внешнем однородном поле с напряжённостью . Начало сферической системы координат совместим с центром шара, а направление выберем так, чтобы с ним совпадало направление напряжённости внешнего однородного поля (рис.1).

Потенциал результирующего электростатического поля можно представить суммой потенциала внешнего однородного поля и потенциала наведённого (индуцированного) поля :

(1)

Потенциал результирующего поля должен удовлетворять уравнению Лапласа вне проводящего шара и принимать постоянное, для определенности нулевое значение на поверхности шара. Из физических соображений следует, что потенциал индуцированного поля должен обращаться в нуль на далёких от поверхности шара расстояниях.

Для потенциала внешнего поля справедливо выражение

(2)

Выражение для потенциала внешнего поля удовлетворяет уравнению Лапласа: описываемая зависимость является линейной функцией координат, а оператор Лапласа является дифференциальным оператором второго порядка. Потенциал тоже должен удовлетворять уравнению Лапласа. Его величина функционально связана с величиной напряжённости внешнего поля, которая вызывает перераспределение электрического заряда на поверхности проводящего шара. Выражение для потенциала можно искать в форме:

(A=const) . (3)

С помощью непосредственного вычисления в декартовой или сферической системе координат или с привлечением символического векторного исчисления можно показать, что выражение для потенциала уравнению Лапласа удовлетворяет. Действительно,

(4)

,

Итогом использования символических векторных операций является результат

Потенциал результирующего поля приобретает вид:

(5)

На поверхности проводящего шара потенциал результирующего поля должен обращаться в нуль, поэтому выбираем значение постоянной А, равной радиусу шара а:

(6)

Построенное решение удовлетворяет всем физическим условиям и может служить для вычисления компонент вектора напряженности электростатического поля. В сферической системе координат зависимость (6) приобретает вид:

(7)

Обратим внимание читателя на то, что полученная зависимость не содержит азимутальной координаты .

Вектор напряжённости электростатического поля определён соотношением:

, (8)

что даёт возможность вычислить физические компоненты вектора :

(9)

Легко видеть, что на поверхности проводящего шара касательные компоненты вектора напряжённости обращаются в нуль, а отличная от нуля радиальная составляющая позволяет вычислить поверхностную плотность индуцированного заряда на поверхности проводящего шара:

(10)

Суммарная величина индуцированного заряда может быть вычислена интегрированием зависимости (10) по поверхности шара:

(11)

Следует обратить внимание на то, что проводящий шар остался как целое незаряженным, суммарный индуцированный заряд его равен нулю, а поверхностная плотность индуцированного заряда отлична от нуля и неравномерно распределена по поверхности.

Распределение индуцированного заряда по поверхности проводящего шара, помимо величины заряда, характеризуется величиной и направлением дипольного электрического момента. С этим понятием мы познакомимся немного позже, а пока скажем, что дипольный момент индуцированного заряда направлен строго по направлению вектора напряженности внешнего поля и равен величине (Заметим, что при равномерном распределении заряда по сферической поверхности дипольный момент обращается в нуль). Действие индуцированного дипольного момента проявляется вне шара поправкой к исходному однородному полю, а внутри шара полной компенсацией внешнего поля. Отмеченная особенность характерна для проводников во внешнем (исходном) электростатическом поле.