Метрические соотношения в косоугольных системах координат.

Квадрат длины радиус-вектора можно получить скалярным произведением . Воспользуемся при этом тремя возможностями:

(1)

(2)

. (3)

Полученные результаты удобно объединить

. (4)

В общем случае криволинейных координат соотношение (4) справедливо для соответствующих дифференциалов:

. (5)

Говорят, что тензор (пока для нас – объект с двумя индексами) в ковариантном или контравариантном представлении (т.е. или ) определяет «метрику пространства» - устанавливает связь между приращениями координат и расстоянием между рассматриваемыми точками пространства, поэтому этот тензор называют метрическим тензором. Заметим, что его фундаментальное свойство (установление связи между контравариантными и ковариантными координатами) остаётся в силе.

Если ковариантный метрический тензор имеет вид

, (6)

координатная система является ортогональной и нормированной (ортонормированной). Поясним смысл этого определения. Орты координатных направлений такой системы координат взаимно перпендикулярны, а значение «координаты» вдоль любого из координатных направлений совпадает с расстоянием от начала координат до проекции конца радиус-вектора на рассматриваемое координатное направление. Декартова система координат является примером ортонормированной системы координат.

Если диагональные элементы тензора отличны от единицы, не обязательно равны друг другу, а внедиагональные члены равны тождественно нулю, такая система координат является ортогональной, но ненормированной:

. (7)

В этом случае направляющие векторы и взаимно перпендикулярны, расстояние от начала координат до проекции конца радиус-вектора на рассматриваемое координатное направление не совпадает с соответствующей координатой, выражение для этого расстояния приведено ниже (9).

Ковариантный метрический тензор вида

(8)

описывает нормированную, но не ортогональную систему координат. Представляем читателю самостоятельно выяснить смысл приведённого определения.

В декартовой системе координат контравариантный метрический тензор совпадает с ковариантным метрическим тензором (6), поскольку матрица, обратная к единичной матрице, сама является единичной. Только в этой системе координат справедлива известная теорема Пифагора.

Общее выражение (5) для квадрата элемента длины в произвольной системе координат позволяет вычислить длины элементарных отрезков вдоль координатных направлений исходной системы координат

(9)

и вдоль координатных направлений взаимной системы координат

. (10)

Таким образом, вектор можно описать ещё и с помощью «физических» составляющих одинаковой размерности того или иного строения. В ортогональных криволинейных системах координат физические составляющие разного строения с одинаковым значением индекса ещё и совпадают между собой по величине. Физические представления вектора не обладают свойствами координатных представлений вектора, в частности для них правило преобразования компонент отличается от правила преобразования координат при переходе от одной системы координат к другой. Для теоретических вычислений особенно удобны координатные представления. После их завершения следует, если необходимо, переходить к физическим представлениям, как более наглядным и привычным.