Скорость как производная

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин e и x: было придумано специальное обозначение: e обозначается как Dt, а х — как Ds. Величина Dt означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать мень­ше. Значок D ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sinq не означает s•i•n•q. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок D напоми­нает нам о его особом характере. Ну, а если D не множитель, то его нельзя сократить в отношении Ds/Dt. Это все равно, что в выражении sinq/sin2q сократить все буквы и получить ¹/₂. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Ds/Dt при Dt, стремящемся к нулю, т. е.

(8.5)

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно ве­личины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хоро­шей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скоро­сти, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. Ds=vDt. Это правило строго справедливо толь­ко тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала Dt, а это, вообще говоря, происходит, только когда Dt доста­точно мало. В таких случаях обычно пишут ds=vdt, где под dt подразумевают интервал времени Dt при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Dt достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение Ds = vDt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подра­зумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях вы­ражение (8.5) имеет вид

Величина ds/dt называется «производной s no t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный про­цесс нахождения производной называется, кроме того, диффе­ренцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t², или просто производную от 5t². Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте най­дем производную более сложной функции. Рассмотрим выра­жение s=At³+Bt+C, которое может описывать движение точ­ки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравне­нии, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t+Dt, причем к s прибавится некоторая добавка Ds, и найдем, как выражается Ds через Dt. Поскольку

s+Ds=A(t+Dt)²+В (t+Dt)+С =At³+Bt+С+ЗAt²Dt+ВDt+3At (Dt)²+A(Dt)³

а

s=At³+Bt+C,

то Ds=3At²Dt+BDt+3At(Dt)²+A(Dt)³.

Но нам нужна не сама величина Ds, а отношение Ds/Dt. После деления на Dt получим выражение

Ds/Dt= 3At^s+В+3At(Dt)+A(Dt)³, которое после устремления Dt к нулю превратится в

Ds/Dt=3'At²+B.

В этом состоит процесс взятия производной, или дифференциро­вания функций. На самом деле он несколько легче, чем это ка­жется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, по­добных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (Dt)² или (Dt)³ или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем Dt устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8,3.

Таблица 8.3 • некоторые производные

s, u, v, w — произвольные функции;

а, b, с, n — произвольные постоянные.