Оптимальная дискретная линейная система с постоянными параметрами (оптимальный дискретный линейный регулятор)

Динамическое программирование. Принцип оптимальности

Принцип оптимальности или принцип погружения Р. Беллмана состоит в том, что оптимальное поведение системы обладает следующим свойством.

Каковы бы ни были начальное состояние и управление в начальный момент времени, управление в последующие моменты времени должно обеспечивать оптимальное поведение системы относительно состояния, в которое она перешла из начального состояния.

Оптимальная дискретная линейная система с постоянными параметрами (оптимальный дискретный линейный регулятор)

Пусть объект управления вместе с датчиками и исполнительными устройствами в дискретные моменты времени описывается с помощью

(1.2.1)

Здесь .

Управление в дискретные моменты времени должно быть выбрано из условия минимума квадратичного критерия качества

(1.2.2)

Здесь это симметрические неотрицательно определенные весовые матрицы, это симметрические положительно определенные весовые матрицы, N - фиксированное число шагов дискретности. Кроме того, обозначим .

Управление начинаем искать с последнего шага, используя метод динамического программирования и необходимое условие экстремума

(1.2.3)

С учетом (1.2.1) минимизируемое выражение принимает вид

(1.2.4)

Считая известным, сформулируем необходимое условие экстремума

(1.2.5)

(1.2.6)

Поскольку матрицы и симметрические, получим

(1.2.7)

(1.2.8)

Найдем также и матрицу вторых производных

(1.2.9)

Поскольку матрица положительно определена, а матрица неотрицательно определена, матрица вторых производных будет положительно определена, что является достаточным условием минимума.