Теоретико-множественные операции

Первую группу реляционных операторов представляют теоретико-множественные операции:

• Объединение
• Пересечение
• Вычитание
• Декартово произведение

В лекции 1 мы рассматривали все эти операции для множеств. Особенности их использования вреляционной алгебре состоят в том, что объединение, пересечение и вычитание применяются котношениям, имеющим одно и то же множество одинаково упорядоченных атрибутов. Пусть имеются два таких отношения R(A₁, ..., A_n) и S(A₁, ..., A_n). Тогда результат их объединенния - этоотношение , содержащее все кортежи отношения R и все кортежи отношения S (кортежи, содержащиеся и в R, и в S, входят в P в одном экземпляре). Это отношение представляется формулой . Результат пересечения - это отношение P₂ = R \cap S, которое содержит кортежи, входящие и в R и в S. Оно представляется формулой . Результат разности P₃= R - S включает кортежи из R, не входящие в S. Это отношение представляется формулой . Декартово произведение P₄= R x S отношенийR(A₁, ..., A_n) и S(B₁, ..., B_m) содержит кортежи, которые составлены из кортежей отношения R, продолженных кортежами отношения S. Список атрибутов P₄ включает все атрибуты отношений R и S: (A₁, ..., A_n, B₁, ..., B_m). Если у R и S имеются общие атрибуты, то они переименовываются. Обычно перед именем атрибута общего атрибута A_i=B_j помещается через точку имя его отношения,R.A_i и S.B_j. Результат декартового произведения задается формулой (мы предполагаем, что все переменные x_i и y_j разные).

поддержка курсаОсновы дискретной математики информация [+]Автор: М.И. Дехтярь Студентам: электронная книга | литература | указатель | учебники | форум | мнения | однокурсники| рейтинг экзамен экстернат диплом Лекции: · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11   1. Лекция: Предварительные сведения Страницы: 1 | 2 | 3 | вопросы | » для печати и PDA Если Вы заметили ошибку - сообщите нам или выделите ее и нажмите Ctrl+Enter Множества и операции над ними. Как доказывать равенство множеств? Отношения и функции. Отношения эквивалентности и частичного порядка. Мощность множеств Содержание Множества Операции над множествами Как доказывать равенство множеств? Отношения и функции. Мощность множества Задачи Множества Множество - это одно из основных понятий математики, как дискретной, так и непрерывной. Оно не определяется через другие понятия. Содержательно, подмножеством понимается некоторая совокупность элементов. Основное отношение между элементами и множеством - этоотношение принадлежности элемента множеству. Оно обозначается знаком означает, что элемент xпринадлежит множеству A. означает, что элемент x не входит в множество A. означает, что каждый элементмножества A является также элементом множества B. В этом случае множество A называется подмножеством множества B. Если и , то A=B, т.е. множества A и B равны. Если и , то A называется собственнымподмножеством множества B, и в этом случае пишем .Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается . Обычно множества обозначаются с помощью пары фигурных скобок, в которые заключены их элементы. Небольшие множества задаются прямым перечислением всех элементов. Например, множество простых чисел, не превосходящих 10, это {2, 3, 5, 7} ; множество (имен) летних месяцев: {июнь, июль, август}. В описаниях "больших" конечных множеств используют многоточие. В них часто указывается несколько первых элементов и последний элемент множества. Например, множество целых неотрицательных чисел, не превосходящих 100, записывают как {0, 1, 2, ... , 100}, множествовсех месяцев года - как { январь, февраль, ..., декабрь}. Такое задание требует определенной аккуратности. Например, если некоторое множество A задано как {3, 5, 7, ... , 19}, то не ясно, является ли A множеством нечетных чисел, лежащих в интервале от 3 до 19, или это множествопростых чисел из того же интервала (возможны и другие его расшифровки). Перечисления элементов бесконечных множеств начинаются несколькими начальными элементами, а завершаются многоточием. При этом часто указывают общий вид элемента задаваемого множества. Основное бесконечноемножество, рассматриваемое в дискретной математике, это множество всех натуральных чисел N={0, 1, 2, 3, ... } . Множество всех квадратов этих чисел можно задать, например, так: {0, 1, 4, 9, ..., n2, ... } . Как мы уже отметили, большие множества не всегда можно точно определить, используя перечисление с многоточием. Основной способ их описания имеет вид: { Elem | условие на Elem}, где Elem - это общий вид элемента определяемого множества, а после вертикальной черты описано условие, которому этот элемент должен удовлетворять. Например, - этомножество целых чисел в интервале от 10 до 1000, - множество квадратов натуральных чисел, - множество всех простых чисел. Множества, элементами которых являются другие множества, часто называют семействами или классами. Семейство ( множество ) всех подмножеств множества A обозначается через 2A, т.е. . Например, если A={ 0, 1, {2,3}}, то , а для пустого множества семейство его подмножеств . Операции над множествами Имеется целый ряд операций, позволяющих получать одни множества из других. Рассмотрим основные из них. Объединениеммножеств A и B называется множество Объединением семейства множеств называется множество Пересечениеммножеств A и B называется множество Пересечением семейства множеств называется множество Из определения операций объединения и пересечения непосредственно следует, что они обладают свойствами ассоциативности: , и коммутативности , . Разностьюмножеств A и B называется множество Обычно все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого "универсального"множества U. Разность U \ A называется дополнением множества A (в U ) и обозначается через . Ясно, что и . Симметрической разностью множеств A и B называется множество Иногда симметрическую разность множеств называют дизъюнктивной суммой и обозначают или . Декартовым (прямым) произведениеммножеств A1, ... , An называется множество n -ок . Если A1= ... =An=A, то A1 x ... An называется декартовой (прямой) степеньюмножества A и обозначается через An .