Необходимые и достаточные условия.
Рассмотрим теорему
(1)
Как отмечалось, множество истинности предиката есть множество . Но тогда множеством ложности этого предиката будет . Последнее множество будет пустым лишь в случае, когда (см. рисунок).
Итак, предикат является истинным для всех том и в только в том случае, когда множество истинности предиката Р(х) содержится в множестве истинности предиката Q(x). При этом говорят, что предикат Q(x) логически следует из предиката Р(х), и предикат Q(x) называют необходимым условием для предиката Р(х), а предикат Р(х) – достаточным условием для Q(x).
IQ |
IP |
Часто встречается ситуация, при которой истинны взаимно
обратные теоремы (1)
Рис. 28 .(2)
Это, очевидно, возможно при условии, что .
В таком случае из теоремы (1)следует, что условия Р(х)являются достаточными для Q(x), а из теоремы (2) следует, что условие Р(х)является необходимым для Q(x).
Таким образом, если истинны теоремы (1) и (2), то условие Р(х) является и необходимым, и достаточным для Q(x). Аналогично в этом случае условие Q(х)является необходимым и достаточным для Р(x).
Иногда вместо логической связки “необходимо и достаточно ” употребляют логическую связку “тогда и только тогда”.
Так как здесь истинны высказывания (1) и (2), то истинно высказывание
.
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 105;