Понятие выводимости формул из совокупности формул.

Будем рассматривать конечную совокупность формул Н={А₁,А₂,…,А_n}.

Определение формулы, выводимой из совокупности Н.

1)Всякая формула А_i,является формулой, выводимой из Н.

2) Всякая доказуемая формула выводима из Н.

3) Если формулы С и С→В выводимы из совокупности Н, то формула В также выводима из Н.

Если некоторая формула В выводима из совокупности Н, то это записывают так: Н├В.

Нетрудно видеть, что класс формул, выводимых из совокупности Н, совпадает с классом доказуемых формул в случае, когда совокупность Н содержит только доказуемые формулы, и в случае, когда Н пуста.

Если же совокупность формул Н содержит хотя бы одну не доказуемую формулу, то класс формул, выводимых из Н, шире класса доказуемых формул.

Пример.

Доказать, что из совокупности формул Н={А ,В} выводима формула .

Так как Аи В, то по определению выводимой формулы

Н├А, (1)

Н├В. (2)

Возьмемксиомы и , и выполним подстановки и .

В результате получим доказуемые формулы, которые выводимы из Н по определению выводимой формулы, т. е.

Н├(А→А)→((А→В)→(А )), (3)

Н├В→(А→В), (4)

Так как формула А→А доказуема, то Н├А→А. (5)

Из формул (5) и (3) по правилу заключения получаем: Н├(А→В)→(А )). (6)

Из формулы (2) и (4) по правилу заключения получаем: Н├А→В. (7)

Из формул (7) и (6) по правилу заключения получаем: Н├А . (8)

И, наконец, из формул (1) и (8) получаем:

Н├ (9)

Ясно, что при доказательстве выводимости формулы из совокупности формул можно пользоваться не только основным правилом заключения, но и правилом сложного заключения. Тогда, пользуясь этим правилом , предложение (9) можно получить из предложений (5), (7), (1) и (3).

Понятие вывода.

Определение.

Выводом из конечной совокупности формул Н называется всякая конечная последовательность формул В₁,В₂,…,В_к, всякий член которой удовлетворяет одному из следующих трех условий:

1) он является одной из формул совокупности Н,

2) он является доказуемой формулой,

3) он получается по правилу заключения из двух любых предшествующих членов последовательности В₁,В₂,…,В_к.

Как было показано в предыдущем примере_,выводом из совокупности формул Н={А,В} является конечная последовательность формул:

А, В, (А→А)→((А→В)→(А )), (А→В), А→А, (А→В)→(А )), А→В, А , . (см. формулы 1,2,3,7,5,6,8).

Если же здесь воспользоваться правилом сложного заключения , то вывод можно записать так:

А, В, (А→А)→((А→В)→(А )), В→(А→В), А→А, А→В, . (см. формулы 5, 7, 1, 3).

Из определения выводимой формулы и вывода из совокупности формул следуют очевидные свойства вывода:

1)Всякий начальный отрезок вывода из совокупности Н есть вывод из Н.

2)Если между двумя соседними членами вывода из Н (или в начале или в конце его) вставить некоторый вывод из Н, то полученная новая последовательность формул будет также выводом из Н.

3)Всякий член вывода из совокупности Н является формулой, выводимой из Н. Всякий вывод из Н является выводом его последней формулы.

4)Если (включено), то всякий вывод из Н является выводом из W.