Истечение при переменном напоре

Рассмотрим опорожнение открытого в атмосферу сосуда произвольной формы через донное отверстие или насадок с коэффициентом расхода µ (рис. 7.9).

Рис. 7.9

В этом случае истечение будет проходить при переменном, постепенно уменьшающемся напоре. Если напор, а следовательно, и скорость истечения, будут меняться медленно, то движение в каждый момент времени можно рассматривать как установившееся (квазистационарное) и применять для решения уравнение Бернулли.

Обозначим переменную площадь свободной поверхности жидкости S, переменную высоту уровня жидкости, отсчитываемую от дна, – h, площадь отверстия в дне – ω₀. Тогда для бесконечно малого промежутка времени dt справедливо уравнение сохранения объемов

или .

Знак «минус» в формуле возникает потому, что положительному приращению dt соответствует отрицательное приращение dh.

Время полного опорожнения сосуда высотой H найдем, интегрируя это уравнение по переменной высоте уровня в пределах высоты всего сосуда (считаем µ = const):

.

Этот интеграл можно сосчитать, если известен закон изменения площади свободной поверхности S по высоте резервуара. В частности, для призматического сосуда S = const и получаем

.

(7.5)

Числитель этой формулы равен удвоенному объему сосуда, а знаменатель представляет собой расход в начальный момент времени при опорожнении, то есть при напоре, равном H. Следовательно, время опорожнения сосуда в два раза больше времени истечения такого же объема жидкости при постоянном напоре H.