Многоканальные СМО с отказами.

Будем рассматривать системы (Р/Е/s):(-/s/¥) в предположении, что время обслуживания не зависит от входного потока и все линии работают независимо. Многоканальные системы, помимо коэффициента загрузки, можно также характеризовать коэффициентом , где s – число каналов обслуживания. Исследуя многоканальные СМО, получим следующие формулы (формулы Эрлáнга) для вероятности нахождения системы в состоянии Еk в случайный момент времени:

, k=0, 1, …

Функция стоимости.

Как и для одноканальных систем, увеличение коэффициента загрузки ведет к увеличению вероятности отказа системы. С другой стороны, увеличение количества линий обслуживания ведет к увеличению вероятности простоя системы или отдельных каналов. Таким образом, необходимо найти оптимальное количество каналов обслуживания данной СМО. Среднее число свободных линий обслуживания можно найти по формуле . Введем С(s) – функцию стоимости СМО, зависящую от с1 – стоимости одного отказа (штрафа за невыполненную заявку) и от с2 – стоимости простоя одной линии за единицу времени.

Для поиска оптимального варианта надо найти (и это можно сделать) минимальное значение функции стоимости: С(s) = с1*l*ps+с2* _, график которой представлен на рисунке 3.3:

Рисунок 3.3

Поиск минимального значения функции стоимости состоит в том, что мы находим ее значения сначала дляs=1, затем для s=2, потом для s=3, и т.д. до тех пор, пока на каком-то шаге значение функции С(s) не станет больше предыдущего. Это и означает, что функция достигла своего минимума и начала расти. Ответом будет то число каналов обслуживания (значение s), для которого функция стоимости минимальна.

ПРИМЕР.

Сколько линий обслуживания должна содержать СМО с отказами, если l=2треб/час, m =1треб/час, штраф за каждый отказ составляет 7 тыс.руб., стоимость простоя одной линии – 2 тыс.руб. в час?

Решение. y=2/1=2. с₁=7, с₂=2.

Предположим, что СМО имеет два канала обслуживания, т.е. s=2. Тогда . Следовательно, С(2) = с1*l*p2+с2*(2-y*(1-р2))= =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Предположим, что s=3. Тогда , С(3) = с1*l*p3+с2* =5.79.

Предположим, что имеется четыре канала, т.е. s=4. Тогда , , С(4) = с1*l*p4+с2* =5.71.

Предположим, что СМО имеет пять каналов обслуживания, т.е. s=5. Тогда , С(5) =6.7 – больше предыдущего значения. Следовательно, оптимальное число каналов обслуживания – четыре.