Одноканальные СМО с отказами.

Будем рассматривать системы, удовлетворяющие требованиям:

(Р/Е/1):(–/1/¥). Предположим также, что время обслуживания требования не зависит от количества требований, поступивших в систему. Здесь и далее «Р» означает, что входной поток распределен по закону Пуассона, т.е. простейший, «Е» означает, что выходной поток распределен по экспоненциальному закону. Также здесь и далее основные формулы даются без доказательства.

Для такой системы возможно два состояния: Е0 – система свободна и Е1 – система занята. Составим матрицу переходов. Возьмем Dt – бесконечно малый промежуток времени. Пусть событие А состоит в том, что в систему за время Dt поступило одно требование. Событие В состоит в том, что за время Dt обслужено одно требование. Событие Аi,k – за время Dt система перейдет из состояния Ei в состояние Ek. Так как l– интенсивность входного потока, то за время Dt в систему в среднем поступает l*Dtтребований. То есть, вероятность поступления одного требования Р(А)=l*Dt, а вероятность противоположного событияР(Ā)=1-l*Dt.Р(В)=F(Dt)=P(b<Dt)=1-e-mDt=mDt – вероятность обслуживания заявки за время Dt. Тогда А₀₀ – заявка не поступит или поступит, но будет обслужена. А₀₀=Ā+А*В. Р₀₀=1-l*Dt. (мы учли, что(Dt)2 – бесконечно малая величина)

А₀₁ – заявка поступит, но не будет обслужена. А₀₁=А* . Р₀₁=l*Dt.

А₁₀ – заявка будет обслужена и новой не будет. А₁₀=В*Ā. Р₁₀=m*Dt.

А₁₁ – заявка не будет обслужена или поступит новая, которая еще не обслужена. А₁₁= +В*А. Р₀₁=1-m*Dt.

Таким образом, получим матрицу переходов: