Размещение полюсов системы. Модальное управление
Предположим, некоторый объект управления описывается уравнениями (7.1), (7.2), и нескорректированная система (7.3) не удовлетворяет заданным требованиям к качеству проектируемой системы.
При синтезе САУ методом модального управления предполагается, что управление определяется выражением
, (7.4)
где g – задающее воздействие; x– вектор переменных состояния объекта управления (7.1), (7.2); k = [k1 k2 … kn]T – вектор варьируемых параметров устройства управления (УУ), которые выбираются, исходя из требований к качеству процесса управления.
Управление (7.4) по существу является одним из видов управления по состоянию (см. § 1.4), так как связь по задающему воздействию g здесь не варьируется, не изменяется. При выборе управления в виде (7.4) образуется замкнутая система, схема которой приведена на рис. 7.1, поэтому уравнение (7.4) одновременно является уравнением замыкания.
Подставляя (7.4) в (7.1), получим
, (7.5)
где – системная матрица замкнутой системы.
Условимся для краткости называть полюсами системы (7.5), корни характеристического уравнения
(7.6)
или, что то же самое, собственные числа системной матрицы .
Определение. Если коэффициенты в равенстве (7.4) выбраны так, что полюсы замкнутой системы (7.5) имеют заранее заданные значения, то управление (7.4) называется модальным управлением. ■
Название «модальное управление» связано с тем, что если некоторая система имеет полюсы , , то при все ее переменные состояния , можно представить в виде сумм
, . (7.7)
Аналогичной комбинацией слагаемых , в этом случае можно представить и выходную переменную y(t).
Слагаемые , называются модами системы. Поэтому, поскольку моды , согласно определению, обеспечиваются управлением (7.4), оно и называется модальным.
С другой стороны, при модальном управлении полюсы системы располагаются в заранее заданных точках комплексной плоскости, т.е. являются желаемыми (заданными) полюсами. Поэтому задачу синтеза модального управления иногда называют задачей размещения полюсов системы, имея в виду, что именно параметры области расположения полюсов, как показано в § 6.3, определяют косвенные оценки прямых показателей качества динамических систем управления.
Рассмотрим методы определения коэффициентов , модального управления
(7.4). Эти методы существенным образом зависят от формы уравнений объекта управления.
Предположим, уравнения (7.1), (7.2) объекта управления записаны в канонической управляемой форме (КУФ), т.е. имеют вид
, . (7.8)
Отметим, что в этом случае коэффициенты последней строки матрицы Aиз уравнений объекта (7.8) совпадают со взятыми с обратным знаком коэффициентами характеристического полинома
(7.9)
объекта (7.1), (7.2).
Чтобы найти системную матрицу из (7.5), вычислим сначала произведение
.
При этом системная матрица замкнутой системы (7.5)
,
также имеет сопровождающую форму. Поэтому её характеристический полином, т.е. характеристический полином замкнутой системы (7.5) определяется выражением
. (7.10)
Обозначим , , ... заданные значения полюсов системы и найдем коэффициенты желаемого характеристического полинома синтезируемой системы
. (7.11)
Приравнивая коэффициенты полиномов (7.10) и (7.11), получим формулы, которые
определяют коэффициенты искомого управления (7.4). Действительно, если
, , (7.12)
то, очевидно, выполняются равенства , т.е. коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы (7.5) совпадают с коэффициентами полинома, корни которого равны заданным значениям полюсов системы.
Таким образом, равенство (7.12) позволяет вычислить значения коэффициентов модального управления (7.4) в тех случаях, когда уравнения объекта заданы в канонической управляемой форме (7.8).
Пример 7.1. Пусть объект описывается уравнением
.
Найти модальное управление так, чтобы полюсы замкнутой системы имели значения , .
Решение. Так как , то искомое управление, согласно (7.4), определяется равенством
(7.13)
где – неизвестные параметры. Уравнения заданного объекта имеют каноническую управляемую форму, поэтому, согласно (7.8), (7.9), в данном случае . Желаемый характеристический полином системы найдём по формуле (7.11)
,
т.е. , . Поэтому по формулам (7.12) находим
, .
Подставляя эти значения в (7.13), получим искомое модальное управление
.
Структурная схема синтезированной системы приведена на рис. 7.2. Непосредственно по этой схеме или, подставив найденное управление в уравнения заданного объекта, легко убедиться, что замкнутая система действительно имеет заданные полюсы. ■
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 91;