Изучение нового материала.

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Изучение нового материала.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

1. Закон двойного отрицания:

А = .

Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:

— для логического сложения:

А Ú B = B Ú A;

— для логического умножения:

A&B = B&A.

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

В обычной алгебре a + b = b + a, a ´ b = b ´ a.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

— для логического сложения:

(A Ú B) Ú C = A Ú (B Ú C);

— для логического умножения:

(A&B)&C = A&(B&C).

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

В обычной алгебре:

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,

а ´ (b ´ c) = a ´ (b ´ c) = a ´ b ´ c.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

— для логического сложения:

(A Ú B)&C = (A&C) Ú (B&C);

— для логического умножения:

(A&B) Ú C = (A Ú C)&(B Ú C).

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

В обычной алгебре:

(a + b) ´ c = a ´ c + b ´ c.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

— для логического сложения

= & ;

— для логического умножения:

= Ú

6. Закон идемпотентности( от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный; дословно — равносильный):

— для логического сложения:

A Ú A = A;

— для логического умножения:

A&A = A.

Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Законы исключения констант:

— для логического сложения:

A Ú 1 = 1, A Ú 0 = A;

— для логического умножения:

A&1 = A, A&0 = 0.

8. Закон противоречия:

A& = 0.

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

9. Закон исключения третьего:

A Ú = 1.

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

10. Закон поглощения:

— для логического сложения:

A Ú (A&B) = A;

— для логического умножения:

A&(A Ú B) = A.

11. Закон исключения (склеивания):

— для логического сложения:

(A&B) Ú ( &B) = B;

— для логического умножения:

(A Ú B)&( Ú B) = B.

12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):

(A Û B) = (BÛ A).

Справедливость приведенных законов можно доказать табличным способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что результирующие столбцы совпадут.

Пример 3.11. Найдите X, если Ú = В.

Для преобразования левой части равенства последовательно воспользуемся законом де Моргана для логического сложения и законом двойного отрицания:

( & ) Ú ( &A)

Согласно распределительному закону для логического сложения:

&( Ú A)

Согласно закону исключения третьего и закона исключения констант:

&1 =

Полученную левую часть приравняем правой:

= В

Окончательно получим, что X = .

Пример 3.12. Упростите логическое выражение (A Ú B Ú C)&

Правильность упрощения проверьте с помощью таблиц истинности для исходного и полученного логического выражения.

Согласно закону общей инверсии для логического сложения (первому закону Моргана) и закону двойного отрицания:

(A Ú B Ú C)& = (A Ú B Ú C)&( &B& )

Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического сложения:

(A Ú B Ú C)&( &B& ) = (A& ) Ú (B& ) Ú (C& ) Ú (A&B) Ú (B&B) Ú (C&B) Ú (A& ) Ú (B& ) Ú (C& )

Согласно закона противоречия:

(A& ) = 0; (C& ) = 0

Согласно закона идемпотентности

(B&B) = B

Подставляем значения и, используя переместительный (коммутативный) закон и группируя слагаемые, получаем:

0 Ú (A&B) Ú ( &B) Ú B Ú (C&B) Ú ( &B) Ú (C& ) Ú (A& ) Ú 0

Согласно закона исключения (склеивания)

(A&B) Ú ( &B) = B

(C&B) Ú ( &B) = B

Подставляем значения и получаем:

0 Ú B Ú B Ú B Ú (C& ) Ú (A& ) Ú 0

Согласно закона исключения констант для логического сложения и закона идемпотентности:

0 Ú B Ú 0 Ú B Ú B = B

Подставляем значения и получаем:

B Ú (C& ) Ú (A& )

Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического умножения:

(C& ) Ú (A& ) = (C Ú A)&(C Ú )&( Ú A)&( Ú )

Согласно закона исключения третьего:

(C Ú ) = 1

( Ú A) = 1

Подставляем значения и окончательно получаем:

B& & .

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Электромагнетизм. Электромагнитная индукция	\|	Определение «экологии». Экологический оптимум. Эврибионтные и стенобионтные организмы.

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 244;

Поиск по сайту

Узнать еще