Вторая интерполяционная формула Ньютона
Вторая формула Ньютона обладает аналогичными свойствами относительно левой части таблицы. Для ее построения используют многочлен вида:
Pn(x)=a0+a1(x-xn)+a2(x-xn)(x-xn-1)+ …+an(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1),(1.3.3-8)
где аi, i =0, 1, 2, …, n – коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.
Для определения коэффициентов аi будем в (1.3.3-8) поочередно подставлять узлы интерполяции. При х = xnPn(xn)=yn, следовательно, a0 = yn.
При х = xn-1имеем Pn(xn-1) = yn-1 =a0+a1(xn-1-xn)=yn+a1(xn-1-xn), откуда
Продолжая подстановку, получим выражение для всех коэффициентов многочлена (1.3.3-8) и запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона:
(1.3.3-9)
Введя обозначение:
и, подставив х в (1.3.3-8), получаем формулу Ньютона для интерполяции назад:
(1.3.3-10)
Воспользуемся этой формулой для вычисления значения функции, заданной таблицей1.3.3-1, в точке х = 1.7.
Точка х=1.7 расположена в конце таблицы. В качестве узлов интерполяции выберем:х3=1.8, х2=1.6 и х1=1.4:
Погрешности интерполяционных формул Ньютона определяются соотношением:
· для первой формулы Ньютона:
(1.3.3-11)
· для второй формулы Ньютона:
(1.3.3-12)
где - некоторое промежуточное значение между узлами интерполяции.
На практике, если интерполируемая функция y =f(x) задана таблично, полагая, что Dn+1=const, а h –достаточно мало, используют приближенные равенства:
(1.3.3-13)
Пример 1.3.3-1.Вычислить c использованием 1-й и 2-й формул Ньютона значение функции, заданной таблицей равноотстоящих узлов, в точке х=1.23.
x | 1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 |
y | 0.000000 | 0.095310 | 0.182322 | 0.262364 | 0.336472 |
Используем 1-ю формулу Ньютона. Выберем х0 = 1.2; х1 = 1.3; х2= 1.4.
Построим таблицу конечных разностей:
x | y | Dy | D2y |
1.2 1.3 1.4 | 0.182322 0.262354 0.336472 | 0.080042 0.074108 | -0.005934 |
Тогда:
Практическая погрешность оценивается соотношением:
e1 = |Р2(х)-Р1(х)|=|0.206958-0.206335|=0.000623.
Решим ту же задачу с помощью 2-й формулы Ньютона. Пусть хn = 1.3; хn-1 = 1.2; хn-2= 1.1.
Таблица конечных разностей имеет вид:
x | y | Dy | D2y |
1.1 1.2 1.3 | 0.095310 0.182322 0.262364 | 0.087012 0.080042 | -0.006970 |
Тогда:
Дата добавления: 2016-05-31; просмотров: 1405;