Задание и исходные данные

Рис. 1.1. Напряженное состояние в точке

Напряженное состояние в точке задается тензором напряжений в системе координат :

Задание

По заданному тензору напряжений

где № - номер варианта; многоточием отмечены касательные напряжения, равные по закону парности касательных напряжений ;

выполнить следующие расчеты:

1) вычислить инварианты напряженного состояния ;

2) вычислить главные напряжения ;

3) вычислить направляющие косинусы главных осей тензора напряжений

;

4) выполнить проверку правильности определения главных напряжений и положения главных осей;

5) рассчитать максимальные касательные напряжения и показать площадки, на которых они действуют;

6) рассчитать полное, нормальное и касательное напряжения по площадке с заданными направляющими косинусами:

где № - номер варианта; - нормаль к площадке;

7) вычислить составляющие тензора деформаций в исходной системе координат, приняв модуль Юнга и коэффициент Пуассона равными:

;

8) найти главные деформации ;

9) найти направляющие косинусы главных осей тензора деформаций;

10) сравнить значения направляющих косинусов для главных осей тензоров напряжений и деформаций. Если есть расхождения, то вычислить погрешность расчетов в процентах.

Пример расчета

Допустим, что в некоторой точке нагруженного тела (рис. 1.1а) вычислены напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам. Если ввести систему координат так, чтобы координатные плоскости совпадали с этими площадками, то напряжения будут являться составляющими тензора напряжений в этой системе координат.

Исходные данные

1. Пусть задан следующий тензор напряжений: