Прямолинейно-параллельное вытеснение нефти водой.

При поршневом вытеснении нефти водой в пористой среде плотность нефти и воды будем считать одинаковыми. Это позволит рассматривать плоскость контакта нефти и воды вертикальной; при этом вязкости нефти и воды различны. Рассмотрим прямолинейное движение контура нефтеносности к прямолинейной батарее скважин в полосообразном пласте (рис.57).

Рис. 57

Принимаем: на контуре питания и на галерее поддерживаются собственно постоянные давления Р_К и Р_Г ; начальное положение контура нефтеносности Х₀ параллельно галерее и контуру питания; коэффициент пористости m = const; площадь сечения пласта . Обозначим:

Р_В, Р_Н - соответственно давление в любой точке водоносной и нефтеносной части пласта;

Р(t) - давление на границе вытеснения Х_В(t);

L_K - расстояние от контура питания до галереи.

Ранее отмечалось, что в случае прямолинейно-параллельного потока одной жидкости распределение давления Р(х) и скорость фильтрации описывались уравнениями (3.12) и (3.15):

или ; (9.2)

. (9.3)

При этом изобарами являются линии, параллельные галерее и каждую изобару можно рассматривать как контур питания или как галерею.

На основании формул (9.2) и (9.3) для водоносной области можно записать :

, ; (9.4)

. (9.5)

Принимая за контур питания изобару, совпадающую с границей раздела жидкостей, для нефтеносной области можно записать :

; (9.6)

. (9.7).

Найдем давление Р(t) на границе раздела.

Вследствие несжимаемости жидкостей и неразрывности потока линии тока будут параллельны оси Х и не имеют преломления, а скорость фильтрации во всех точках пласта одинакова; поэтому приравниваем (9.5) и (9.7) , т.е. имеем

откуда давление на границе раздела будет

(9.8)

Далее определим основные характеристики фильтрационного потока нефти и воды.

1) Распределение давления в водоносной и нефтеносной областях. Для этого подставим (9.8) в (9.4) и (9.6):

(9.9)

(9.10)

Из уравнений (9.9) и (9.10) видно, что давление в пласте зависит не только от координаты Х, но и от положения границы раздела Х_В, которая перемещается , т.е. Х_В(t) растет; поэтому давление в водоносной области Р_В(t) падает, а в нефтеносной Р_Н (t) растет (рис.58). Пьезометрическая линия на границе раздела имеет излом.

Рис. 58

2) Найдем выражение скорости фильтрации. Подставим (9.8) в (9.5) и в (9.7); получим:

(9.11)

3) Расход жидкости (дебит галереи) Q.

(9.12)

Как видно из (9.11) и (9.12) скорость фильтрации и расход Q жидкости также изменяются со временем. Следовательно, несмотря на постоянство депрессии движение жидкости будет неустановившимся. При , как видно из этих же формул, скорость фильтрации и дебит Q галереи увеличиваются с течением времени, т.е. по мере продвижения контура нефтеносности. Это легко объясняется физическими явлениями: со временем область нефтеносности (область высокого фильтрационного сопротивления) уменьшается, поэтому скорость фильтрации V и расход Q увеличиваются.

4) Градиент давления. Продифференцируем выражения (9.9) и (9.10) по координате х:

(9.13)

. (9.14)

Как видно из (9.13) и (9.14), градиенты давлений в водоносной и нефтеносной областях со временем ( Х_В(t) растет) увеличиваются (линии на графике становятся более крутыми); при этом легко видеть из (9.13) и (9.14), что в нефтеносной области градиент давления больше, чем в водоносной во столько раз, во сколько m_Н больше m_В.

5) Закон движения границы раздела Х_В(t) находим из соотношения скорости фильтрации и средней скорости движения:

откуда

Проинтегрировав в пределах: от 0 до t и от Х₀ до Х_В, получим

(9.15)

Найдем время Т полного вытеснения нефти, полагая в (9.15) . Получаем

. (9.16)

Решая квадратное уравнение (9.15), находим закон движения границы раздела:

. (9.17)

Если подставить из (9.17) в (9.11) и в (9.12), можно получить выражения для скорости фильтрации V и расхода жидкости Q во времени. В частности

(9.18)