по разделу «Элементы теории высказываний»

Упражнения для выполнения

1) Найдите среди указанных ниже предложений высказывания. Укажите их истинностное значение:

а) Москва – столица России;

б) Студент юридического факультета;

в) Если , то ;

г) Луна есть спутник Марса;

д) Кто пойдет к доске?

е) ;

ж) Математика – интересный предмет;

з) Железо тяжелее свинца;

и) Да здравствуют каникулы!

к) Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны;

л) Сегодня дождливая погода;

м) Река Чита впадает в реку Ингода.

2) Пусть A, B и C обозначают следующие высказывания:

А – «Путешествие на Марс является дорогостоящим»,

B – «Я совершу путешествие на Марс»,

С – «У меня есть деньги».

В следующих составных высказываниях выделите логические связки, установите вид высказывания, запишите в виде логической формулы:

а) У меня нет денег, и я совершу путешествие на Марс.

б) У меня нет денег, и путешествие на Марс является дорогостоящим или я совершу путешествие на Марс.

в) Если у меня будут деньги, то я совершу путешествие на Марс.

г) Неверно, что у меня есть деньги и я полечу на Марс.

д) Путешествие на Марс не является дорогостоящим, и я полечу на Марс или путешествие на Марс является дорогостоящим, и я не полечу на Марс.

е) Для того, чтобы я совершил путешествие на Марс, достаточно чтобы у меня были деньги.

3) Пусть X, Y и Z обозначают следующие высказывания:

X – «Мой компьютер – быстродействующий»,

Y – «Я напишу курсовую работу вовремя»,

Z – «Я сдам экзамен».

В следующих составных высказываниях выделите логические связки, установите вид высказывания, запишите в виде логической формулы:

а) У меня не быстродействующий компьютер или я напишу курсовую работу вовремя.

б) Я не напишу курсовую работу вовремя и не сдам экзамен.

в) Для написания курсовой работы необходимо чтобы у меня был быстродействующей компьютер.

г) Неверно, что я напишу курсовую работу и сдам экзамен.

д) У меня быстродействующий компьютер или я не напишу курсовую работу.

е) Я сдам экзамен в том и только том случае, если мой компьютер – быстродействующий и я напишу курсовую работу вовремя.

4) Пусть M, N и P обозначают следующие высказывания:

M – «Эта игра очень трудна»,

N – «Я играю в шахматы»,

P – «Игра в шахматы требует времени».

Сформулируйте словесно следующие высказывания, записанные в символической форме:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

5) Пусть C, R, S и Y обозначают следующие высказывания:

С – «Сегодня ясно»,

R – «Сегодня идет дождь»,

S – «Сегодня идет снег»,

Y – «Вчера было пасмурно».

Сформулируйте словесно следующие высказывания, записанные в символической форме:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

6) В следующих составных высказываниях выделите составляющие их элементарные высказывания, логические связки, установите вид высказывания, запишите в виде логической формулы:

а) Если преступление предусмотрено общей и специальной нормами, совокупность преступлений отсутствует и уголовная ответственность наступает по специальной норме (п. 3 ст. 12 УК РФ).

б) Преступление признается совершенным с прямым умыслом, если лицо осознавало общественную опасность своих действий (бездействий), предвидело возможность или неизбежность наступления общественно опасных последствий и желало их наступления (п.2 ст.25 УК РФ).

в) Преступление признается совершенным по небрежности, если лицо не предвидело возможности наступления общественно опасных последствий своих действий (бездействий), хотя при необходимой внимательности и предусмотрительности должно было и могло предвидеть эти последствия (п.3 ст.26 УК РФ).

г) Деяние признается также совершенным невиновно, если лицо, его совершившее, хотя и предвидело возможность наступления общественно опасных последствий своих действий (бездействий), но не могло предотвратить эти последствия в силу несоответствия своих психофизиологических качеств требованиям экстремальных условий или нервно-психическим перегрузкам (п.2 ст.28 УК РФ).

д) Штраф в качестве дополнительного вида наказания может назначаться только в случаях, предусмотренных соответствующими статьями Особенной части настоящего Кодекса (п.4 ст. 46 УК РФ).

е) Лицам, указанным в части первой настоящей статьи, принудительные меры медицинского характера назначаются только в случаях, когда психические расстройства связаны с возможностью причинения этими лицами иного существенного вреда либо с опасностью для себя или других лиц (п. 2 ст. 97 УК РФ).

ж) В случаях, предусмотренных законом или в установленном им порядке, для осуществления и передачи прав, удостоверенных ценной бумагой, достаточно доказательств их закрепления в специальном реестре (п.2 ст. 142 ГК РФ часть 1).

з) Для передачи другому лицу прав, удостоверенных ценной бумагой на предъявителя, достаточно вручения ценной бумаги этому лицу (п.1 ст. 146 ГК РФ часть 1).

и) Право юридического лица осуществлять деятельность, на занятие которой необходимо получение лицензии, возникает с момента получения такой лицензии или в указанный в ней срок и прекращается по истечении срока ее действия, если иное не установлено законом или иным правовыми актами (п.3 ст. 49 ГК РФ часть 1).

7) В следующих высказываниях вместо многоточия поставьте один из союзов И, ИЛИ, так чтобы получилось истинное высказывание:

а) При . . . ; а, b – числа;

б) Если , то . . . . . . . . . ;

в) Если , то . . . .

8) Образуйте отрицание каждого из следующих высказываний и определите, истинно оно или ложно:

а) Число 35 не делится на число 5;

б) ;

в) Все простые числа четные;

г) -рациональное число;

д) ;

е) ;

ж) Африка – остров;

з) Некоторые грибы несъедобные.

9) Являются ли следующие пары высказываний отрицанием друг друга? Поясните свой ответ.

а) « »,« »;

б) « »,« »;

в) «Треугольник АВС прямоугольный», «Треугольник АВС тупоугольный»;

г) «Натуральное число n четно», «Натуральное число n нечетно»;

д) «Функция нечетна», «Функция четна»;

е) «Все простые числа четны», «Все простые числа нечетны»;

ж) «Человеку известны все виды животных, обитающих на Земле», «На Земле существует вид животных, неизвестный человеку»;

з) «Существуют иррациональные числа», «Все числа - рациональные».

10) Из каждых трех высказываний выберите пару высказываний, являющихся отрицаниями друг друга:

а) « », « », « »;

б) «Степан решил все задания в карточки», «Степан не решил все задания в карточки», «Степан решил не все задания в карточки»;

в) «Луна – спутник Земли», «Неверно, что Луна спутник Земли», «Неверно, что Луна не является спутником Земли»;

г) «Прямая а не параллельна прямой с», «Прямая а перпендикулярна прямой с», «Прямые а и с не пересекаются»;

д) «Мишень поражена первым выстрелом», «Мишень поражена не первым выстрелом», «Неверна, что мишень поражена не первым выстрелом».

11) Дайте определение операции конъюнкции через ложное высказывание, а операции дизъюнкции – через истинное высказывание.

12) Из определения импликации установите, можно ли из истинности импликации заключить об истинности импликации . Почему?

13) Определите значения истинности высказываний A, B, C, D, E, F, G, H, I, если высказывания а) – д) ложны, а высказывания е) – и) истинны:

а) A и ;

б) Если 4 – четное число , то В;

в) или С;

г) Если D, то 6 – четное число;

д) Не и не Е;

е) Если , то ;

ж) или не G;

з) Если , то ;

и) Не I и .

14) Какие из следующих выражений являются формулами:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) .

15) Пусть А – истинное высказывание, В – ложное высказывание. Установите значение истинности следующих логических формул:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

16) При каких значениях истинности высказываний А и В следующие составные высказывания принимают истинные и ложные значения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

17) При каких значениях логических переменных А и В логическая формула будет принимать истинное значение:

а) ;

б) ;

в) .

18) При каких значениях логических переменных А и В логическая формула будет принимать ложное значение:

а) ;

б) ;

в) .

19) Определить значение истинности высказывания, если известно значение истинности его части:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , - ложно;

д) , ;

е) , - истинно.

20) Какие из высказываний должны быть истинны, и какие ложны, чтобы выполнялись следующие равенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

21) Постройте таблицы истинности для следующих высказываний. Что можно сказать о них?

а) и ;

б) и А;

в) и .

22) Какие из соотношений равносильности (законов) выражают законы логики:

а) Два отрицающих друг друга высказывания не могут быть одновременно истинными? Как называется этот закон?

б) Два отрицающих друг друга высказывания не могут быть одновременно ложными? Как называется этот закон?

23) Проведите аналогию между равносильностью формул из алгебры высказываний и тождественностью алгебраических выражений в обычной алгебре. Какие из законов алгебры высказываний не имеют аналогии в обычной алгебре?

24) Для каждого из следующих составных высказываний постройте его отрицание:

а) Треугольник АВС прямоугольный и равнобедренный;

б) ;

в) По крайней мере, один из сомножителей равен нулю, т.е. или ;

г) Этот четырехугольник – прямоугольник или ромб.

25) Замените каждое из следующих составных высказываний каким-либо равнозначным ему высказыванием:

а) Если 12 не делится на 2 и на 3, то 12 делится на 6;

б) Если углы смежные, то их сумма составляет ;

в) или ;

г) Неверно, что у ромба все углы острые и диагонали не перпендикулярны.

26) Установите, равносильны ли следующие пары формул? Если формулы равносильны, то выясните при каких значениях А и В они будут принимать истинные значения:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и .

27) Упростите логические формулы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

28) Упростите логические формулы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

29) Следующие формулы приведите к возможно более простому виду, применяя равносильные преобразования:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

30) Упростите логические формулы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

31) Следующие формулы приведите к возможно более простому виду, применяя равносильные преобразования:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

32) Докажите равносильность следующих формул двумя способами - посредством равносильных преобразований и посредством построения таблиц истинности:

а) ;

б) ;

в) .

33) Докажите равносильность следующих логических формул посредством равносильных преобразований:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

34) Дано высказывание: «Если политик обещает невыполнимое, то он обманывает людей».

а) введите логические переменные и запишите логическую формулу;

б) найдите отрицание созданной логической формулы; произнесите на естественном языке созданное отрицание;

в) упростите отрицание и произнесите на естественном языке.

35) Выделите условие и заключение в каждой из следующих теорем:

а) Если углы смежные, то их сумма равна .

б) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

в) Равенство треугольников есть достаточное условие их равновеликости.

г) Четность суммы есть необходимое условие четности каждого слагаемого.

36) Заполните пустые клетки в таблице, если даны следующие утверждения:

37) Пользуясь законом композиции, докажите следующие теоремы:

а) Если - нечетное число, то и - нечетны ( ).

б) Если , то или .

38) Заполните пустые клетки в таблице, если даны следующие выражения:

№ п/п	Выражение	Связь[4]	Выражение
	зима		лето

39) Какие из нижеприведенных высказываний истинны:

а) Для того чтобы число делилось на 3, достаточно, чтобы оно делилось на 6;

б) Для того чтобы число делилось на 4, необходимо, чтобы оно делилось на 6;

в) Для того чтобы число делилось на 100, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 10;

г) Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 5.

40) Вместо многоточия вставьте слова «необходимо» либо «достаточно», либо «необходимо и достаточно», чтобы данные предложения были истинными:

а) Для того чтобы сумма двух натуральных чисел делилась на 2, … , чтобы каждое слагаемое делилась на 2;

б) Для того чтобы каждое слагаемое делилось на 2, … , чтобы сумма этих слагаемых делилась на 2;

в) Для того чтобы число делилось на 45, … , чтобы оно делилось на 5 и на 9;

г) Для того чтобы угол был острым, … , чтобы он был меньше прямого.

41) Заполните таблицу:

установив, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно ложными, выполнимыми при помощи таблиц истинности.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

42) Заполните таблицу:

установив, какие из следующих формул выполнимы, противоречивы, а какие из них являются тавтологиями (не составляя таблицы истинности):

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

43) На складе было совершено хищение. Подозрение пало на трех человек: Иванова, Петрова и Сидорова, они были доставлены для допроса в отдел милиции, в котором работало одиннадцать следователей. Во время допроса каждый из подозреваемых дал показания, после чего каждый из следователей сделал соответственные выводы. Выводы каких следователей были верны?

44) Выясните, справедливы ли следующие логические следствия, руководствуясь определением логического следования:

а) , ;

б) ;

в) , ;

г) ;

д) .

45) Для следующих формул выясните, будет ли какая-либо из них логическим следствием другой?

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и .

46) Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

а) , , , , ;

б) , , , , .

47) Установите правильность следующих умозаключений, используя результаты полученного предложения:

а)

б)

в)

г)

48) Покажите правильность следующих умозаключений, используя равносильные преобразования:

а)

б)

в)

г)

49) Методом от противного выясните, верны ли следующие логические следования:

а)

б)

50) Выяснить, виновен ли Овечкин в хищении на складе, если известно следующее: никто кроме Козлова, Овечкина и Баранова в хищении не замешен; Козлов никогда не пойдет на дело без, по крайней мере, одно соучастника; Баранов не виновен.

51) Выяснить, чью вину доказывают следующие улики: если А и В – оба виновны, то С был соучастник; С всегда берет с собой на дело D; если А участвовал в преступлении, то с ним был В или С; если А не виновен, то D – виновен.

52) Проверить правильность рассуждения средствами логических рассуждений: «Если человек осужден судом, то он лишается избирательных прав. Если человек признан невменяемым, то он также лишается избирательных прав. Следовательно, если человек обладает избирательным правом, то он здоров и не был осужден судом».

53) Проверить правильность рассуждения средствами логических суждений: «Иванов утверждает, что не встречал этой ночью Сидорова. Если Иванов не встречал этой ночью Сидорова, то либо Сидоров был убийцей, либо Иванов лжет. Если Сидоров не был убийцей, то Иванов не встречал его этой ночью, а убийство было совершено после полуночи. Если убийство было совершено после полуночи, то либо Сидоров был убийцей, то либо Иванов лжет. Следовательно, убийцей был Сидоров».

54) Проверить правильность следующего рассуждения: «Для того чтобы сдать экзамен, мне необходимо достать учебник или конспект. Я достану конспект только в том случае, если мой приятель не уйдет. Мой приятель уйдет, только если я сдам экзамен. Следовательно, я сдам экзамен».

55) Выяснить, кто из четырех виновен на основе информации: «Петров виновен, только если виновен Иванов. Неверно, что виновность Сидорова влечет виновность Родионова и что Иванов виновен, а Сидоров нет».

56) Петров, Иванов и Сидоров сдавали экзамен по информатике и математике. Если Петров не сдал экзамен на «отлично», то и Иванов не сдал на «отлично». Сидоров и еще один из друзей сдали экзамен на «отлично». Следует ли отсюда, что не верно, что Петров сдал экзамен не на «отлично», а Иванов на «отлично»?

57) На складе совершено хищение. Подозрение пало на трех человек: Козлова, Баранова и Овечкина, они были доставлены для допроса. Установлено следующее:

· Никто, кроме Козлова, Баранова, Овечкина, не был замешен в деле.

· Козлов никогда не ходит на дело без, по крайней мере, одного соучастника.

· Овечкин не виновен.

Виновен ли Баранов?

58) Разбирается дело Иванова, Петрова и Сидорова. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления.

Иванов: Я не сделал этого. Петров не делал этого.

Петров: Сидоров сделал это. Иванов не делал этого.

Сидоров: Я не делал это. Иванов сделал это.

Далее было установлено, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий раз солгал, раз сказал правду.

Кто совершил преступление? Какой будет ответ при условии, что каждый из них один раз сказал правду, а один раз солгал?

59) В деле об убийстве имеются двое подозреваемых – Малинин и Виноградов. Допросили четырех свидетелей, которые последовательно дали такие показания: «Малинин не виноват», «Виноградов не виноват», «Из двух первых показаний, по меньшей мере, одно истинно», «Показания третьего ложны». Четвертый свидетель оказался прав. Кто виновен?

60) По подозрению в совершенном преступлении задержали Батюшкина, Никифорова и Сидоркова. Один из них был уважаемым в городе стариком, другой был малоизвестным чиновником, третий – известным мошенником. В процессе следствия старик говорил правду, мошенник лгал, а третий задержанный в одном случае говорил правду, а в другом – ложь. Вот, что они утверждали:

Батюшкин: Я совершил это. Никифоров не виноват.

Никифоров: Батюшкин не виноват. Преступление совершил Сидорков.

Сидорков: Я не виноват. Виноват Никифоров.

Требуется определить фамилии старика, мошенника и чиновника, и кто из них виноват, если известно, что преступник один.

61) В одном городе было совершено ограбление квартиры. Подозрение пало на двух известных воров – Деточкина и Мирославского. Кроме того, обнаружились три свидетеля, которые заявили:

Первый: Это они сделали вместе.

Второй: Ограбление совершил Деточкин, Мирославский в этом не участвовал.

Третий: Если Мирославский совершил ограбление, то Деточкин тоже принимал в этом участие.

Какой можно сделать вывод из показаний свидетелей, если выяснилось, что все они врали?

62) Предположим, что a говорит: «Или я лжец, или b рыцарь». Кто из двух персонажей – a и b – рыцарь и кто лжец?

63) Предположим, что a высказывает утверждение: «Я – лжец, а b не лжец». Кто из двух персонажей – a и b – рыцарь и кто лжец?

64) Предположим, a утверждает: «Если b – рыцарь, то я лжец». Кто из двух персонажей – a и b – рыцарь и кто лжец?

65) Предположим, a утверждает: «Если я – рыцарь, то и b - рыцарь». Убедиться, что a и b – рыцари.

Литература

1) Игошин, В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В.И. Игошин. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 304 с.

2) Андерсон, Д. А. Дискретная математика и комбинаторика: Пер. с англ. / Д.А. Андерсон. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 960 с.: илл.

3) Стол, Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Р.Р. Стол. Пер. с англ. Ю.А. Гастева и И.Х. Шмаина. Под ред. Ю.А. Шихановича. – М.: «Просвещение», 1968. – 231 с.: илл.

4) Драбкина, М.Е. Логические упражнения по элементарной математике / М.Е. Драбкина. – Минск: «Высшая школа», 1965.

5) Дорофеева, А.В. Высшая математика. Гуманитарные специальности. Сборник задач: учеб. пособие для вузов / А.В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 2009. – 175, [1] с.: ил.

6) Эпова, Е.В. Вводный курс математики: Учебно-методическое пособие / Е.В. Эпова. – Чита: Изд-во ЗабГПУ, 2004. – 111 с.

7) Арбузов, П.В. Высшая математика для юристов: учебное пособие / П.В. Арбузов [и др.]. – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 442 с. Интернет-ресурс: http://posobie-mii.narod.ru/HTML.html.

[1] Для всякой теоремы «если А, то В» можно сформулировать обратное предложение «если В, то А».

[2] Для всякой теоремы «если А, то В» можно сформулировать предложение «если не В, то А», которое называют противоположным данному.

[3] Для всякой теоремы «если А, то В» можно сформулировать предложение «если не В, то не А», которое называют обратным противоположному.

[4] Если связь есть, то необходимо записать какая, если связи нет, то поставить прочерк и пояснить почему.