Постановка задачи численного интегрирования

Численное интегрирование

Пусть требуется найти значение определенного интеграла:

где f(х) — непрерывная на отрезке [a; b] функция. Если известна ее первообразная, то интеграл можно вычислить по формуле Ньютона—Лейбница:

Здесь F(х) - одна из первообразных функций. Однако даже в тех случаях, когда первообразную удается явно найти в аналитической форме, не всегда удается довести до числового ответа значение определенного интеграла. К тому же, иногда подынтегральная функция задается таблицей или графиком или первообразная не выражается через элементарные функции в конечном виде. В таких случаях применяют различные методы приближенного (численного) интегрирования. Формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называют квадратурными формулами.

Прием построения квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция f(х) заменяется на отрезке [a; b] интерполяционным многочленом, т.е. f(x) = F_n(x) + R_n(x). Тогда Узлы интерполирования х_0, х₁, …, х_п принадлежат отрезку [a; b]. Оба интеграла существуют и тогда можно принять: а погрешность при этом будет равна .