Третья часть задания

Результаты выполнения заданий №1 и №2 представить преподавателю.

Заключение

Литература

ПРИЛОЖЕНИЕ А Термины и определения

А.1 Линейные пространства

Непустое множество элементов , , … называют линейным (или векторным) пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям [ 9 ]:

а) Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент , называемый их суммой и обозначаемый , причем:

- (коммутативность),

- (ассоциативность),

- в существует такой элемент , что для всех (существование нуля),

- для каждого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента);

б) Для любого числа и любого элемента определен элемент (произведение числа на элемент ), причем:

- ,

- ,

- ,

- .

Элементы , ,… линейного пространства называют линейно зависимыми, если существуют такие числа , ,… , не все равные , что

.

Числовую функцию , определенную на некотором линейном пространстве , называют функционалом.

Функционал называют аддитивным, если

для всех ,

он называется однородным, если

( - произвольное число).

Функционал, обладающий свойством однородности, называют мультипликативным.

.

Числовую функцию , определенную на некотором линейном пространстве , называют функционалом.

Функционал называют аддитивным, если

для всех ,

он называется однородным, если

( - произвольное число).

Функционал, обладающий свойством однородности, называют мультипликативным.

А.2 Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называют уравнение [ 5 ], связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные , ,…,

.

Линейным уравнением первого порядка называют уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

.

Дифференциальное уравнение n-го порядка называют линейным (уравнение первой степени относительно совокупности искомой функции и ее производных), если оно имеет вид

,

где , ,…, и это заданные функции от или постоянные, причем для всех значений из области определения уравнения. Обычно уравнение приводят к виду с коэффициентом . Функцию называют правой частью уравнения.

Если , то уравнение называют линейным неоднородным или уравнением с правой частью.

Если , то уравнение имеет вид

и называется линейным однородным или уравнением без правой части (левая часть этого уравнения является однородной функцией первой степени относительно , , ,…, ).

Если для всех отрезка имеет место равенство

,

где , , это постоянные числа, не равные нулю, то говорят, что выражается линейно через функции , ,… .

функций , ,… , называют линейно независимыми, если никакая функция из этих функций линейно не выражается через остальные.

Систему дифференциальных уравнений, в которой в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных,

,

где , ,… искомые функции, а это аргумент, называют нормальной.

Систему дифференциальных уравнений, в которой коэффициенты это постоянные, это аргумент, а , ,… это искомые функции

,

называют системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (например, нормальную систему) это значит определить функции , ,… , удовлетворяющие заданной системе уравнений и начальным условиям: , ,… . Интегрирование нормальной системы можно производить следующим образом. Дифференцируем по первое из уравнений

.

Заменяем производные , ,… их выражениями , ,… из нормальной системы уравнения получим уравнение

.

Дифференцируя полученное уравнение и делая аналогичные замены, получим уравнение

.

Дифференцируя далее и производя замены, получим следующую систему дифференциальных уравнений

.

Далее из уравнений определяем , ,… , выразив их через , и производные , ,… (предполагая, что эти операции выполнимы)

.

Подставив эти выражения в уравнение , получим уравнение n-го порядка для определения .

Если исходная система дифференциальных уравнений линейна относительно искомой функции, то и выражение будет линейным.

Решая полученное уравнение, определим : .

Дифференцируя это выражение раз, найдем производные , ,… как функции от , , ,… . Подставляя эти функции в уравнения для , ,… получим

.

Для удовлетворения решения заданным начальным условиям необходимо найти значения постоянных , ,… .

Рассмотрим пример интегрирования следующей системы дифференциальных уравнений

при начальных условиях , .

Дифференцируя по получим

.

Подставив сюда выражения и из заданных уравнений, получим

или

.

Далее, находим выражение и подставляем его в только что полученное уравнение, из чего получаем

или

.

Общее решение последнего уравнения есть

.

Для удовлетворения начальных условий необходимо чтобы и . Отсюда , . Таким образом, решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям, будут иметь вид

,

.

В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что из первых уравнений можно определить функции , ,… . Возможно, что переменные , ,… исключаются не из , а из меньшего числа уравнений. В этом случае получим уравнение, порядок которого ниже .

А.3 Комплексные числа

Комплексным числом называют [ 1, 2, 6 ] сумму действительного и мнимого чисел ( и – действительные числа, - мнимая единица). Мнимую единицу ( ) определяют следующим образом: . Мнимая единица обладает свойствами: , , и т.д.

Два комплексных числа и считают равными, если равны их действительные ( ) и мнимые ( ) части.

Два комплексных числа и называют сопряженными.

Комплексное число можно представить вектором на комплексной плоскости (рис. а.1), проведенным из начала координат в точку .

Длину вектора ( ), изображающего комплексное число, называют модулем этого числа ( ). Аргументом комплексного числа ( ) называют угол между осью действительных значений и вектором, изображающим комплексное число ( ).

Рис. А.1 – Комплексная плоскость

Вещественную и мнимую части комплексного числа обозначают следующим образом .

Выделяют алгебраическую, показательную и тригонометрическую формы представления комплексного числа:

- алгебраическая форма;

- показательная форма;

- тригонометрическая форма.

Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании комплексных чисел:

,

.

Показательная форма удобна при умножении, делении, извлечении корня и логарифмирования комплексных чисел:

,

,

,

,

.

Тригонометрическая форма удобна при переходе от показательной формы к алгебраической форме комплексного числа:

,

.

Умножение комплексного числа на величину приводит к повороту вектора комплексного числа против (по) часовой стрелки на без изменения длины вектора.

Сопротивление, содержащее активную и реактивную составляющую, представляют как комплексное число ( - активная, - реактивная часть).

А.4 Гармонические функции

Гармоническим током (напряжением) называют ток, периодически изменяющийся во времени по синусоидальному закону [ 1, 6 ]. Мгновенное значение гармонического тока определяет следующим выражением

, где:

Рис. А.2 ‑ Гармоническая функция

- амплитуда гармонического сигнала (максимальное значение);

- период гармонического сигнала (время одного колебания);

- угловая частота (скорость изменения фазы);

- начальная фаза (значение фазы в момент времени );

- фаза (аргумент синусоидального сигнала).

График гармонической функции представлен на рис. а.2.

Мгновенное значение гармонического сигнала заменяют комплексным значением, например:

,

.

Комплексную величину, представляющую гармоническую функцию времени, отмечают точкой наверху ( ). Иногда комплексные величины подчеркивают снизу ( ).

Для описания работы линейной электрической схемы гармонического тока в установившемся режиме используют систему алгебраических уравнений, составленных по методам, основанным на законах Ома и Кирхгофа [ 3 ].

Для алгебраизации интегро-дифференциальных уравнений применяют комплексные величины. В этих уравнениях дифференцирование и интегрирование мгновенного значения переменных заменяют умножением комплексных величин этих переменных на комплексные числа и соответственно:

,

, .

Полученную таким образом систему алгебраических уравнений можно решать относительно неизвестных комплексных величин.

А.5 Законы Ома и Кирхгофа

Для описания электрической цепи (совокупности устройств и объектов, образующих путь для электрического тока) используют некоторую эквивалентную схему. Выделяют следующие топологические элементы [ 6 ], образующие схему электрической цепи.

Ветвью называют участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток.

Узлом называют место соединения ветвей электрической цепи.

Контуром называют любой замкнутый путь, образованный узлами и ветвями.

Графом называют изображение схемы электрической цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками (ветвями графа), а узлы представлены точками (узлами графа).

Деревом называют любую совокупность ветвей графа, соединяющих все узлы графа без образования контуров.

Первый закон Кирхгофа говорит о том, что алгебраическая сумма токов в узле равна или нулю или алгебраической сумме источников тока в том же узле

,

.

Число линейно независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, равно n-1, где n это число узлов рассматриваемой схемы.

Второй закон Кирхгофа говорит о том, что алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре схемы равна или нулю или алгебраической сумме э.д.с. в этом контуре

,

.

Число линейно независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, равно m-n+1, где m это число ветвей, а n это число узлов рассматриваемой схемы.

Закон Ома для участка цепи, содержащей сопротивление, емкость и индуктивность выглядит следующим образом:

- для комплексного значения гармонического тока и напряжения;

- , , для тока и напряжения как функции времени.

Формулы вычисления значений последовательного и параллельного соединения сопротивлений, представлены в табл. а.1.

Частотные и мгновенные временные характеристики цепей представлены в табл. а.2.

Табл. А.1 – Соединения сопротивлений

Обозначение	Вычисление	Описание
		Последовательное соединение
		Параллельное соединение

Табл. А.2 – Частотные и временные характеристики цепей

Обозначение цепи	Частотная область	Временная область

Рассмотрим применение законов Ома и Кирхгофа для составления алгебраических уравнений в частотной области и интегро-дифференциальных уравнений во временной области на примере схемы последовательного R, C, L контура (рис. а.3).

Рис. А.3 – Последовательный R, C, L контур

В частотной области, при гармоническом входном воздействии , уравнение составлено по второму закону Кирхгофа будут выглядеть следующим образом

.

Ток в цепи вычислим по формуле .

Напряжение на индуктивном элементе вычислим по формуле

учитывая, что

, ,

получим выражение

.

Выделив, вещественную и мнимую части выражения, получим

алгебраическую форму комплексного числа (зависящего от частоты ) для напряжения .

Выделив, вещественную и мнимую части выражения, получим

алгебраическую форму комплексного числа, зависящего от частоты , для напряжения .

Во временной области уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, представлено в главе 3.2 и приложении А.6.

А.6 Переходные процессы

Переходные (нестационарные) процессы возникают в результате коммутаций, происходящих в электрических цепях. Под коммутацией понимают различные включения, выключения, переключения пассивных и активных ветвей и элементов электрической цепи, приводящие к изменению схемы или ее параметров. Считают, что коммутация совершается мгновенно. Для момента коммутации существуют следующие правила.

Ток и магнитный поток в ветви с индуктивным элементом не могут изменяться скачком, и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией. Условия непрерывности тока и магнитного потокосцепления в цепи с индуктивным элементом рис. а.4:

, , .

Рис. А.4 – Схема коммутации с индуктивностью

Напряжение и заряд на емкостном элементе не могут изменяться скачком, и в момент коммутации равны тем значениям, которые они имели непосредственно перед коммутацией. Условия непрерывности напряжения и заряда в цепи с емкостным элементом рис. а.5:

, ,

.

Рис. А.5 – Схема коммутации с емкостью

Независимые начальные условия (значение тока или потока в индуктивном и напряжения или заряда на емкостном элементах в момент коммутации) определяются по законам коммутации.

Зависимые начальные условия (значения токов и напряжений в момент коммутации) определяются по схеме, образованной после коммутации по законам Кирхгофа с учетом законов коммутации.

Независимые и зависимые начальные условия схемы, представленной на рис. а.6 будут следующие:

- независимые начальные условия для тока ;

- независимые начальные условия для напряжения .

Рис. А.6 – Зависимые начальные условия

Для определения зависимых начальных условий используем законы Кирхгофа и определенные ранее значения тока и напряжения , . Для цепей, образованных после коммутации, составим уравнения Кирхгофа с учетом значений , .

Полученную систему алгебраических уравнений решим относительно искомых величин , , .

зависимые начальные условия для токов , ;

зависимые начальные условия для производной .

Для расчета переходных процессов на цифровых вычислительных машинах используют, как наиболее удобный, метод переменных состояний. Для после коммутационной схемы, вместо одного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка, решают n дифференциальных уравнений первого порядка относительно выбранных переменных. Переменными могут быть напряжения на конденсаторах, токи в индуктивных катушках, и другие величины, по начальным состояниям которых (и входным воздействиям) определяют искомые переходные функции.

В качестве примера рассмотрим переходный процесс в последовательном колебательном контуре (рис. а.3). Ток в схеме является общим для всех элементов схемы. Считаем начальные условия нулевыми , . В схеме до коммутации нет запаса энергии.

Независимые начальные условия схемы будут следующие , , .

Зависимые начальные условия схемы вычисляются из следующих соображений .

Интегро-дифференциальное уравнение контура, составленное по второму закону Кирхгофа и закону Ома, будет выглядеть так:

.

Дифференцируя левую и правую части этого уравнения, получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка

.

Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка будет выглядеть так:

.

Такая система дифференциальных уравнений, решаемая численными методами, может использоваться микропроцессорной системой, для обработки входного сигнала в реальном времени.

А.7 Сигналы с ограниченной полосой частот

В теории сигналов используют теорему Котельникова (теорема отсчетов). Эта теорема формулируется следующим образом [ 2 ]:

Если наивысшая частота в спектре функции меньше чем , то функция полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на секунд.

В соответствии с этой теоремой сигнал , ограниченный по спектру наивысшей частотой , может быть представлен рядом

.

В этом выражении обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а обозначает выборки функции в моменты времени . Функция вида

обладает следующими свойствами:

- в точке функция , а в точке , где это любое целое положительное или отрицательное число, отличное от , ;

- спектральная плотность функции равномерна в полосе частот и равна .

Так как функция отличается от только сдвигом на оси времени на , то спектральная плотность функции будет

.

Очевидно, что ряд представляющий функцию , точно определяет в точках отсчета поскольку коэффициентами ряда являются сами выборки из этой функции (величины ). Для доказательства того, что ряд определяет функцию в любой момент , а не только в точках отсчета воспользуемся правилами разложения функции по ортогональной системе. В этом случае разложение производится по функциям вида для которых интервал ортогональности равен бесконечности, а норма равна

.

Общая формула определения значений коэффициентов ряда, справедливая для обобщенного ряда Фурье выглядит следующим образом

.

При этом предполагается, что это квадратично-интегрируемая функция (энергия сигнала конечна). Для определения коэффициентов воспользуемся следующей формулой [ 2 ]

.

Окончательно получим следующее выражение , из которого следует, что коэффициентами ряда являются выборки функции в точках . Поскольку ограничение спектра конечной наивысшей частотой обеспечивает непрерывность функции , то ряд сходится к функции при любом значении .

Если взять интервал между выборками меньше чем , то ширина спектра функции будет больше, чем у спектра функции . Это повысит точность представления сигнала и ослабит требования к АЧХ фильтра, восстанавливающего непрерывный сигнал.

При увеличении по сравнению с спектр функции становится уже, чем спектр функции . Коэффициенты при этом являются уже выборками не заданного сигнала , а некоторой другой функции , спектр которой ограничен наивысшей частотой .

В случае, когда длительность сигнала конечна и равна , а полоса частот по-прежнему равна , мы имеем дело, строго говоря, с несовместимыми условиями, так как функция конечной длительности обладает теоретически бесконечно широким спектром.

На практике всегда можно определить наивысшую частоту спектра т