Признаки сходимости рядов с положительными членами.

Для числовых рядов с положительными членами при исследовании их сходимости можно применять следующие достаточные признаки сходимости:

8Первый признак сравнения:

Пусть и - ряды с положительными членами, причём , начиная с некоторого номера n. Тогда:

1) Если ряд - сходится, то и ряд тоже сходится;

2) Если ряд расходится, то и тоже расходится.

! В качестве эталона можно взять ряд Дирихле: , где р > 0. Этот ряд сходится, если р > 1 и расходится при 0 < р ≤ 1.

8Второй признак сравнения:

Пусть и - ряды с положительными членами, причём существует конечный и отличный от нуля предел , тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

При использовании признаков сравнения часто используют эквивалентность следующих б.м. последовательностей ( при ): :~ ~ ~ ~ ~ .

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

. В качестве ряда для сравнения рассмотрим ряд (ряд - сходящийся ряд). Начиная с номера n = 1 , так как ряд сходится, то и ряд тоже сходится.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами существует предел , то справедливы следующие утверждения:

1) Если p<1, то ряд сходится;

2) Если p>1, то ряд расходится;

3) Если p=1 – вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство основано на сравнении ряда с рядом, члены которого образуют геометрическую прогрессию. Пусть p<1, q – любое число из интервала (p, 1), т.е. p < q < 1.
Так как , то существует , при будет выполняться неравенство , , отсюда . Записывая последнее неравенство для различных значений n, начиная с номера N, получим:

Таким образом, , следовательно, члены ряда меньше членов сходящейся геометрической прогрессии (q<1), из чего следует, что ряд - сходящийся ряд.

Аналогичным образом можно доказать, что при p>1 ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

- необходимый признак сходимости выполняется, следовательно, ряд, возможно, будет сходящимся.

Применяя признак Даламбера, вычислим , следовательно, ряд сходится.