Эпициклические соединения зубчатых колес

Зубчатые соединения, в которых имеются колеса, участвующие в двух вращениях: вокруг собственной оси и вместе с ней вокруг центральной неподвижной оси механизма, называются эпициклическими.

Колеса, вращающиеся вокруг центральной неподвижной оси механизма, называются центральными, или солнечными; колеса, участвующие в двух вращениях, – бегунами или сателлитами. Промежуточное звено, соединяющее сателлит с центральной осью механизма, называется водилом и обычно обозначается буквой H.

Эпициклические соединения делятся на дифференциальные и планетарные.

Дифференциальным соединением зубчатых колес называется такое эпициклическое соединение, которое не имеет дополнительных кинематических связей, т.е. все центральные колеса которого вращаются.

Дифференциальные соединения применяются для сложения движения двух звеньев на ведомом звене или для разложения движения ведущего звена на два независимых движения ведомых звеньев.

Для вывода формулы, связывающей угловые скорости колес z₁, z₄ и водила H, применим метод обращения движения. Для того чтобы получить рядовую передачу, для которой известно определение передаточного отношения, сообщим всему соединению дополнительное вращение с угловой скоростью –ω_H, т.е. равной, но противоположной по направлению угловой скорости водила. Тогда колесо z₁ будет иметь новую угловую скорость, равную = ω₁ – ω_H; колесо z₄ будет иметь скорость = , а поводок H – скорость = = 0.

Таким образом, получим рядовую передачу, в которой колеса z₁ и z₄ вращаются с угловыми скоростями и . Передаточное отношение рядового соединения определяется как

Имея в общем случае n колес, получим формулу, известную под названием формулы Виллиса:

где – передаточное отношение рядового соединения, полученного из дифференциального путем обращения движения, т.е. при закреплении водила H.

Передаточное отношение может быть выражено через числа зубцов колес в зависимости от вида полученного рядового соединения.

Рассмотрим примеры расчета дифференциальных соединений.

1.Пусть дан дифференциальный механизм (рис. 8.6, а), у которого известны числа зубцов всех колес: z₁= 30, z₂= 30, z₃= 20, z₄= 80 и угловые скорости двух ведущих звеньев: водила H и колеса z₁ – n_H = 200 об./мин и n_H = 1000 об./мин. Требуется определить числа оборотов всех колес соединения.

Эта задача решается с помощью формулы Виллиса.

а б

Рис. 8.6. Дифференциальный (а)
и дифференциально-замкнутый (б) механизмы

Для определения числа оборотов z₄ составляем уравнение:

Так как угловая скорость ω пропорциональна числам оборотов n, то это выражение может быть представлено в следующем виде:

¨ отсюда n₄ = 225 об./мин.

Для определения чисел оборотов колеса z₂ имеем

¨ отсюда n₂ = 300 об./мин.

Так как колеса z₂ и z₃ жестко закреплены на одном валу, то их скорости равны, т.е. n₂ = n₃. Поэтому для определения скорости n₂ = n₃ можно в качестве проверки произвести расчет через передаточное отношение зацепления между колесами z₄ и z₃. Тогда имеем

¨ отсюда n₃ = 300 об./мин, т.е. n₂ = n₃.

Необходимо отметить, что при кинематических расчетах эпициклических соединений, как дифференциальных, так и планетарных, следует правильно определять знак передаточного отношения обращенного механизма.

2. Произведем расчет замкнутого дифференциального соединения (рис. 8.6, б).

Замкнутым дифференциальным соединением называется такое дифференциальное соединение, у которого ведущие звенья связаны между собой дополнительной зубчатой передачей. Если в дифференциальном соединении (см. рис. 8.6, а) оба ведущих звена (водило H и колесо z₁) связать дополнительной зубчатой передачей, то получим замкнутое дифференциальное соединение, изображенное на рис. 8.6, б.

В отличие от дифференциального соединения, имеющего два ведущих звена, замкнутое дифференциальное соединение имеет всего одно ведущее звено.

Пусть даны числа зубцов всех колес: z₁ = 20, z₂ = 40, z₃ = 30, z₄= 30,
z₅ = 30, z₆ = 30, z₇ = 20, z₈= 80 и число оборотов ведущего колеса =
= 200 об./мин.

Требуется определить передаточное отношение соединения и числа оборотов всех колес.

Передаточное отношение замкнутого соединения, имеющего степень подвижности, равную единице, определяется как

В этом выражении неизвестно , к расчету которого и сводится задача при определении передаточного отношения.

Рассмотрим структуру замкнутого дифференциального соединения. Это соединение состоит из собственного дифференциального соединения (z₅, z₆, z₇, z₈ и водило H) и дополнительной передачи (z₁, z₂, z₃, z₄), связывающей ведущие звенья – водило H и колесо z₅ – дифференциального соединения. Вследствие этого угловая скорость колеса z₅ зависит от угловой скорости и определяется из отношения

где – передаточное отношение связывающей передачи, образует рядовое соединение с кратным зацеплением.

Из этого выражения определяем :

об./мин.

Для дифференциального соединения (z₅, z₆, z₇, z₈ и H) составляем соотношение:

где – передаточное отношение обращенного соединения; n_H = n₁ = = 200об./мин.

Подставляя известные численные значения, получим

¨ отсюда = 225 об./мин.

Передаточное значение показывает, что колеса z₁ и z₈ вращаются в одну сторону.

Переходим к определению чисел оборотов всех колес, участвующих в соединении.

Для определения можно воспользоваться одним из двух соотношений:

или .

Считаем по . Подставляя значения, получим , отсюда = –100 об./мин. Знак (–) показывает, что колеса и вращаются в противоположную сторону от направления вращения колеса .

Для определения чисел оборотов колес и входящих в дифференциальное соединение, составляем формулу Виллиса:

Решая ее, получим

¨ отсюда = 300 об./мин.

Планетарными соединениями называются такие эпициклические соединения, в которых одно из центральных колес закреплено неподвижно. В отличие от дифференциальных соединений планетарные соединения имеют подвижность, равную единице.

Планетарные соединения применяются для получения значительных передаточных отношений как в силовых, так и в несиловых передачах.

В планетарных передачах вращение может передаваться как от первого колеса z₁ к поводку H, так и от поводка H к первому колесу. Формула передаточного отношения выводится из формулы Виллиса:

Так как одно из центральных колес в планетарных соединениях закреплено, например колесо z_n, то его угловая скорость = 0. Подставив значение в формулу Виллиса, получим

¨ или

где – передаточное отношение планетарного соединения от колеса z₁ к поводку Н; – передаточное отношение обращенного соединения при неподвижном водиле Н и раскрепленном колесе z_n.

Передаточное отношение при ведущем водиле H определяется как

В этих выражениях следует обязательно учитывать знак при .

Угловые скорости всех колес, входящих в планетарное соединение, подсчитываются по формуле Виллиса.

3. Требуется определить передаточное отношение от водила H к колесу z₁ и угловые скорости всех колес планетарного соединения, если z₁ = 20, z₂ = 40, z₃ = 20, z₄ = 40 и = 100 об./мин.